Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10265 / 2041
↖ ↑ ↗
← N 79.200193°
E 45.549316°		 ← 457.82 m → N 79.200193°
E 45.571289°		 →
↑
457.95 m
↓
↑
457.95 m
↓
N 79.196075°
E 45.549316°		 ← 457.99 m →
209 695 m²		 N 79.196075°
E 45.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626556396484375 y=0.124603271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626556396484375 × 214)
    floor (0.626556396484375 × 16384)
    floor (10265.5)     		tx = 10265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124603271484375 × 214)
    floor (0.124603271484375 × 16384)
    floor (2041.5)     		ty = 2041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10265 / 2041 ti = "14/10265/2041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10265/2041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10265 ÷ 214
    10265 ÷ 16384     		x = 0.62652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2041 ÷ 214
    2041 ÷ 16384     		y = 0.12457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62652587890625 × 2 - 1) × π
    0.2530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79498554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12457275390625 × 2 - 1) × π
    0.7508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35887895650372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79498554} λ = 0.79498554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35887895650372))-π/2
    2×atan(10.5790851877308)-π/2
    2×1.47655023158939-π/2
    2.95310046317877-1.57079632675     		φ = 1.38230414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79498554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.549316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38230414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.200193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10265 KachelY 2041 0.79498554 1.38230414 45.549316 79.200193
    Oben rechts KachelX + 1 10266 KachelY 2041 0.79536904 1.38230414 45.571289 79.200193
    Unten links KachelX 10265 KachelY + 1 2042 0.79498554 1.38223226 45.549316 79.196075
    Unten rechts KachelX + 1 10266 KachelY + 1 2042 0.79536904 1.38223226 45.571289 79.196075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38230414-1.38223226) × R
    7.18799999999131e-05 × 6371000     		dl = 457.947479999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38230414-1.38223226) × R
    7.18799999999131e-05 × 6371000     		dr = 457.947479999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79498554-0.79536904) × cos(1.38230414) × R
    0.000383499999999981 × 0.187378001899007 × 6371000     		do = 457.81664341278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79498554-0.79536904) × cos(1.38223226) × R
    0.000383499999999981 × 0.187448608267885 × 6371000     		du = 457.989154435822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38230414)-sin(1.38223226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187378001899007-0.187448608267885)×R²
    abs(0.79536904-0.79498554)×7.0606368877929e-05×R²
    0.000383499999999981×7.0606368877929e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.0606368877929e-05×40589641000000     		ar = 209695.478738226m²