Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10266 / 2042
↖ ↑ ↗
← N 79.196075°
E 45.571289°		 ← 457.98 m → N 79.196075°
E 45.593262°		 →
↑
458.01 m
↓
↑
458.01 m
↓
N 79.191956°
E 45.571289°		 ← 458.15 m →
209 798 m²		 N 79.191956°
E 45.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626617431640625 y=0.124664306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626617431640625 × 214)
    floor (0.626617431640625 × 16384)
    floor (10266.5)     		tx = 10266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124664306640625 × 214)
    floor (0.124664306640625 × 16384)
    floor (2042.5)     		ty = 2042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10266 / 2042 ti = "14/10266/2042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10266/2042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10266 ÷ 214
    10266 ÷ 16384     		x = 0.6265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2042 ÷ 214
    2042 ÷ 16384     		y = 0.1246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6265869140625 × 2 - 1) × π
    0.253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79536904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1246337890625 × 2 - 1) × π
    0.750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79536904} λ = 0.79536904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35849546130676))-π/2
    2×atan(10.5750289371991)-π/2
    2×1.47651429553868-π/2
    2.95302859107737-1.57079632675     		φ = 1.38223226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79536904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38223226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.196075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10266 KachelY 2042 0.79536904 1.38223226 45.571289 79.196075
    Oben rechts KachelX + 1 10267 KachelY 2042 0.79575253 1.38223226 45.593262 79.196075
    Unten links KachelX 10266 KachelY + 1 2043 0.79536904 1.38216037 45.571289 79.191956
    Unten rechts KachelX + 1 10267 KachelY + 1 2043 0.79575253 1.38216037 45.593262 79.191956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38223226-1.38216037) × R
    7.18900000000744e-05 × 6371000     		dl = 458.011190000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38223226-1.38216037) × R
    7.18900000000744e-05 × 6371000     		dr = 458.011190000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79536904-0.79575253) × cos(1.38223226) × R
    0.000383490000000042 × 0.187448608267885 × 6371000     		do = 457.977212085062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79536904-0.79575253) × cos(1.38216037) × R
    0.000383490000000042 × 0.187519223490875 × 6371000     		du = 458.149740242271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38223226)-sin(1.38216037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187448608267885-0.187519223490875)×R²
    abs(0.79575253-0.79536904)×7.06152229902612e-05×R²
    0.000383490000000042×7.06152229902612e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.06152229902612e-05×40589641000000     		ar = 209798.197902976m²