Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1027 / 1029
↖ ↑ ↗
← S  0.878872°
E  0.527343°		 ← 19.544 km → S  0.878872°
E  0.703125°		 →
↑
19.543 km
↓
↑
19.543 km
↓
S  1.054628°
E  0.527343°		 ← 19.543 km →
381.937 km²		 S  1.054628°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501708984375 y=0.502685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501708984375 × 211)
    floor (0.501708984375 × 2048)
    floor (1027.5)     		tx = 1027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502685546875 × 211)
    floor (0.502685546875 × 2048)
    floor (1029.5)     		ty = 1029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1027 / 1029 ti = "11/1027/1029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1027/1029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1027 ÷ 211
    1027 ÷ 2048     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1029 ÷ 211
    1029 ÷ 2048     		y = 0.50244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    -0.0048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.015339807878418))-π/2
    2×atan(0.98477724767356)-π/2
    2×0.777728560241018-π/2
    1.55545712048204-1.57079632675     		φ = -0.01533921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01533921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.878872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1027 KachelY 1029 0.00920388 -0.01533921 0.527343 -0.878872
    Oben rechts KachelX + 1 1028 KachelY 1029 0.01227185 -0.01533921 0.703125 -0.878872
    Unten links KachelX 1027 KachelY + 1 1030 0.00920388 -0.01840673 0.527343 -1.054628
    Unten rechts KachelX + 1 1028 KachelY + 1 1030 0.01227185 -0.01840673 0.703125 -1.054628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01533921--0.01840673) × R
    0.00306752 × 6371000     		dl = 19543.16992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01533921--0.01840673) × R
    0.00306752 × 6371000     		dr = 19543.16992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.01227185) × cos(-0.01533921) × R
    0.00306797 × 0.999882356625021 × 6371000     		do = 19543.7374082552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.01227185) × cos(-0.01840673) × R
    0.00306797 × 0.999830600928244 × 6371000     		du = 19542.7257894977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01533921)-sin(-0.01840673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999882356625021-0.999830600928244)×R²
    abs(0.01227185-0.00920388)×5.17556967770672e-05×R²
    0.00306797×5.17556967770672e-05×6371000²
    0.00306797×5.17556967770672e-05×40589641000000     		ar = 381936995.414845m²