Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10272 / 10208
↖ ↑ ↗
← S 40.446947°
E 45.703125°		 ← 1 859.30 m → S 40.446947°
E 45.725097°		 →
↑
1 859.06 m
↓
↑
1 859.06 m
↓
S 40.463666°
E 45.703125°		 ← 1 858.84 m →
3 456 123 m²		 S 40.463666°
E 45.725097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626983642578125 y=0.623077392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626983642578125 × 214)
    floor (0.626983642578125 × 16384)
    floor (10272.5)     		tx = 10272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623077392578125 × 214)
    floor (0.623077392578125 × 16384)
    floor (10208.5)     		ty = 10208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10272 / 10208 ti = "14/10272/10208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10272/10208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10272 ÷ 214
    10272 ÷ 16384     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10208 ÷ 214
    10208 ÷ 16384     		y = 0.623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623046875 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.773126317072266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773126317072266))-π/2
    2×atan(0.461567803007033)-π/2
    2×0.432431964120923-π/2
    0.864863928241845-1.57079632675     		φ = -0.70593240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70593240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.446947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10272 KachelY 10208 0.79767001 -0.70593240 45.703125 -40.446947
    Oben rechts KachelX + 1 10273 KachelY 10208 0.79805350 -0.70593240 45.725097 -40.446947
    Unten links KachelX 10272 KachelY + 1 10209 0.79767001 -0.70622420 45.703125 -40.463666
    Unten rechts KachelX + 1 10273 KachelY + 1 10209 0.79805350 -0.70622420 45.725097 -40.463666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70593240--0.70622420) × R
    0.000291799999999953 × 6371000     		dl = 1859.0577999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70593240--0.70622420) × R
    0.000291799999999953 × 6371000     		dr = 1859.0577999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79805350) × cos(-0.70593240) × R
    0.000383489999999931 × 0.76100699404595 × 6371000     		do = 1859.30354314617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79805350) × cos(-0.70622420) × R
    0.000383489999999931 × 0.760817658245638 × 6371000     		du = 1858.84095511857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70593240)-sin(-0.70622420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76100699404595-0.760817658245638)×R²
    abs(0.79805350-0.79767001)×0.000189335800312107×R²
    0.000383489999999931×0.000189335800312107×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189335800312107×40589641000000     		ar = 3456122.79003572m²