Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10272 / 2081
↖ ↑ ↗
← N 79.034258°
E 45.703125°		 ← 464.75 m → N 79.034258°
E 45.725097°		 →
↑
464.83 m
↓
↑
464.83 m
↓
N 79.030078°
E 45.703125°		 ← 464.93 m →
216 071 m²		 N 79.030078°
E 45.725097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626983642578125 y=0.127044677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626983642578125 × 214)
    floor (0.626983642578125 × 16384)
    floor (10272.5)     		tx = 10272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127044677734375 × 214)
    floor (0.127044677734375 × 16384)
    floor (2081.5)     		ty = 2081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10272 / 2081 ti = "14/10272/2081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10272/2081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10272 ÷ 214
    10272 ÷ 16384     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2081 ÷ 214
    2081 ÷ 16384     		y = 0.12701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12701416015625 × 2 - 1) × π
    0.7459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34353914862531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34353914862531))-π/2
    2×atan(10.4180423940777)-π/2
    2×1.47510217998819-π/2
    2.95020435997638-1.57079632675     		φ = 1.37940803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37940803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.034258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10272 KachelY 2081 0.79767001 1.37940803 45.703125 79.034258
    Oben rechts KachelX + 1 10273 KachelY 2081 0.79805350 1.37940803 45.725097 79.034258
    Unten links KachelX 10272 KachelY + 1 2082 0.79767001 1.37933507 45.703125 79.030078
    Unten rechts KachelX + 1 10273 KachelY + 1 2082 0.79805350 1.37933507 45.725097 79.030078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37940803-1.37933507) × R
    7.29600000000108e-05 × 6371000     		dl = 464.828160000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37940803-1.37933507) × R
    7.29600000000108e-05 × 6371000     		dr = 464.828160000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79805350) × cos(1.37940803) × R
    0.000383489999999931 × 0.190222025870489 × 6371000     		do = 464.753266990458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79805350) × cos(1.37933507) × R
    0.000383489999999931 × 0.190293653194547 × 6371000     		du = 464.928267927964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37940803)-sin(1.37933507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190222025870489-0.190293653194547)×R²
    abs(0.79805350-0.79767001)×7.16273240575771e-05×R²
    0.000383489999999931×7.16273240575771e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.16273240575771e-05×40589641000000     		ar = 216071.078726559m²