Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10273 / 2083
↖ ↑ ↗
← N 79.025896°
E 45.725097°		 ← 465.12 m → N 79.025896°
E 45.747070°		 →
↑
465.21 m
↓
↑
465.21 m
↓
N 79.021712°
E 45.725097°		 ← 465.29 m →
216 417 m²		 N 79.021712°
E 45.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627044677734375 y=0.127166748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627044677734375 × 214)
    floor (0.627044677734375 × 16384)
    floor (10273.5)     		tx = 10273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127166748046875 × 214)
    floor (0.127166748046875 × 16384)
    floor (2083.5)     		ty = 2083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10273 / 2083 ti = "14/10273/2083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10273/2083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10273 ÷ 214
    10273 ÷ 16384     		x = 0.62701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2083 ÷ 214
    2083 ÷ 16384     		y = 0.12713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62701416015625 × 2 - 1) × π
    0.2540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79805350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12713623046875 × 2 - 1) × π
    0.7457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34277215823138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79805350} λ = 0.79805350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34277215823138))-π/2
    2×atan(10.4100549191878)-π/2
    2×1.4750292032846-π/2
    2.9500584065692-1.57079632675     		φ = 1.37926208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79805350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.725097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37926208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.025896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10273 KachelY 2083 0.79805350 1.37926208 45.725097 79.025896
    Oben rechts KachelX + 1 10274 KachelY 2083 0.79843700 1.37926208 45.747070 79.025896
    Unten links KachelX 10273 KachelY + 1 2084 0.79805350 1.37918906 45.725097 79.021712
    Unten rechts KachelX + 1 10274 KachelY + 1 2084 0.79843700 1.37918906 45.747070 79.021712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37926208-1.37918906) × R
    7.30199999998682e-05 × 6371000     		dl = 465.21041999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37926208-1.37918906) × R
    7.30199999998682e-05 × 6371000     		dr = 465.21041999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79805350-0.79843700) × cos(1.37926208) × R
    0.000383499999999981 × 0.19036530895704 × 6371000     		do = 465.115466520571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79805350-0.79843700) × cos(1.37918906) × R
    0.000383499999999981 × 0.190436993156338 × 6371000     		du = 465.290610983504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37926208)-sin(1.37918906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19036530895704-0.190436993156338)×R²
    abs(0.79843700-0.79805350)×7.16841992972339e-05×R²
    0.000383499999999981×7.16841992972339e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.16841992972339e-05×40589641000000     		ar = 216417.301138522m²