Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10274 / 2082
↖ ↑ ↗
← N 79.030078°
E 45.747070°		 ← 464.94 m → N 79.030078°
E 45.769043°		 →
↑
465.02 m
↓
↑
465.02 m
↓
N 79.025896°
E 45.747070°		 ← 465.12 m →
216 247 m²		 N 79.025896°
E 45.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627105712890625 y=0.127105712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627105712890625 × 214)
    floor (0.627105712890625 × 16384)
    floor (10274.5)     		tx = 10274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127105712890625 × 214)
    floor (0.127105712890625 × 16384)
    floor (2082.5)     		ty = 2082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10274 / 2082 ti = "14/10274/2082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10274/2082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10274 ÷ 214
    10274 ÷ 16384     		x = 0.6270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2082 ÷ 214
    2082 ÷ 16384     		y = 0.1270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6270751953125 × 2 - 1) × π
    0.254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79843700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    0.745849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34315565342834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79843700} λ = 0.79843700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34315565342834))-π/2
    2×atan(10.4140478908432)-π/2
    2×1.4750656985051-π/2
    2.9501313970102-1.57079632675     		φ = 1.37933507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79843700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37933507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.030078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10274 KachelY 2082 0.79843700 1.37933507 45.747070 79.030078
    Oben rechts KachelX + 1 10275 KachelY 2082 0.79882050 1.37933507 45.769043 79.030078
    Unten links KachelX 10274 KachelY + 1 2083 0.79843700 1.37926208 45.747070 79.025896
    Unten rechts KachelX + 1 10275 KachelY + 1 2083 0.79882050 1.37926208 45.769043 79.025896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37933507-1.37926208) × R
    7.29900000000505e-05 × 6371000     		dl = 465.019290000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37933507-1.37926208) × R
    7.29900000000505e-05 × 6371000     		dr = 465.019290000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79843700-0.79882050) × cos(1.37933507) × R
    0.000383500000000092 × 0.190293653194547 × 6371000     		do = 464.940391536804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79843700-0.79882050) × cos(1.37926208) × R
    0.000383500000000092 × 0.19036530895704 × 6371000     		du = 465.115466520706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37933507)-sin(1.37926208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190293653194547-0.19036530895704)×R²
    abs(0.79882050-0.79843700)×7.16557624935443e-05×R²
    0.000383500000000092×7.16557624935443e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.16557624935443e-05×40589641000000     		ar = 216246.95748255m²