Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10276 / 14372
↖ ↑ ↗
← S 79.318942°
E 45.791016°		 ← 452.84 m → S 79.318942°
E 45.812989°		 →
↑
452.79 m
↓
↑
452.79 m
↓
S 79.323014°
E 45.791016°		 ← 452.67 m →
205 002 m²		 S 79.323014°
E 45.812989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627227783203125 y=0.877227783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627227783203125 × 214)
    floor (0.627227783203125 × 16384)
    floor (10276.5)     		tx = 10276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877227783203125 × 214)
    floor (0.877227783203125 × 16384)
    floor (14372.5)     		ty = 14372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10276 / 14372 ti = "14/10276/14372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10276/14372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10276 ÷ 214
    10276 ÷ 16384     		x = 0.627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14372 ÷ 214
    14372 ÷ 16384     		y = 0.877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627197265625 × 2 - 1) × π
    0.25439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79920399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.75439453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37000031721558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79920399} λ = 0.79920399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37000031721558))-π/2
    2×atan(0.0934806966245207)-π/2
    2×0.0932098174104903-π/2
    0.186419634820981-1.57079632675     		φ = -1.38437669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79920399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38437669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.318942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10276 KachelY 14372 0.79920399 -1.38437669 45.791016 -79.318942
    Oben rechts KachelX + 1 10277 KachelY 14372 0.79958749 -1.38437669 45.812989 -79.318942
    Unten links KachelX 10276 KachelY + 1 14373 0.79920399 -1.38444776 45.791016 -79.323014
    Unten rechts KachelX + 1 10277 KachelY + 1 14373 0.79958749 -1.38444776 45.812989 -79.323014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38437669--1.38444776) × R
    7.10699999999509e-05 × 6371000     		dl = 452.786969999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38437669--1.38444776) × R
    7.10699999999509e-05 × 6371000     		dr = 452.786969999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79920399-0.79958749) × cos(-1.38437669) × R
    0.000383499999999981 × 0.185341760167756 × 6371000     		do = 452.841537770013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79920399-0.79958749) × cos(-1.38444776) × R
    0.000383499999999981 × 0.185271921049821 × 6371000     		du = 452.670901354702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38437669)-sin(-1.38444776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185341760167756-0.185271921049821)×R²
    abs(0.79958749-0.79920399)×6.98391179355384e-05×R²
    0.000383499999999981×6.98391179355384e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.98391179355384e-05×40589641000000     		ar = 205002.116890209m²