Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1028 / 1028
↖ ↑ ↗
← S  0.703107°
E  0.703125°		 ← 19.545 km → S  0.703107°
E  0.878906°		 →
↑
19.544 km
↓
↑
19.544 km
↓
S  0.878872°
E  0.703125°		 ← 19.544 km →
381.972 km²		 S  0.878872°
E  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502197265625 y=0.502197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502197265625 × 211)
    floor (0.502197265625 × 2048)
    floor (1028.5)     		tx = 1028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502197265625 × 211)
    floor (0.502197265625 × 2048)
    floor (1028.5)     		ty = 1028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1028 / 1028 ti = "11/1028/1028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1028/1028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1028 ÷ 211
    1028 ÷ 2048     		x = 0.501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1028 ÷ 211
    1028 ÷ 2048     		y = 0.501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501953125 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501953125 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01227185} λ = 0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0122718463027344))-π/2
    2×atan(0.987803145726098)-π/2
    2×0.779262394250125-π/2
    1.55852478850025-1.57079632675     		φ = -0.01227154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01227154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.703107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1028 KachelY 1028 0.01227185 -0.01227154 0.703125 -0.703107
    Oben rechts KachelX + 1 1029 KachelY 1028 0.01533981 -0.01227154 0.878906 -0.703107
    Unten links KachelX 1028 KachelY + 1 1029 0.01227185 -0.01533921 0.703125 -0.878872
    Unten rechts KachelX + 1 1029 KachelY + 1 1029 0.01533981 -0.01533921 0.878906 -0.878872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01227154--0.01533921) × R
    0.00306767 × 6371000     		dl = 19544.12557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01227154--0.01533921) × R
    0.00306767 × 6371000     		dr = 19544.12557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01227185-0.01533981) × cos(-0.01227154) × R
    0.00306796 × 0.999924705597908 × 6371000     		do = 19544.5014576376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01227185-0.01533981) × cos(-0.01533921) × R
    0.00306796 × 0.999882356625021 × 6371000     		du = 19543.6737057502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01227154)-sin(-0.01533921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999924705597908-0.999882356625021)×R²
    abs(0.01533981-0.01227185)×4.23489728867965e-05×R²
    0.00306796×4.23489728867965e-05×6371000²
    0.00306796×4.23489728867965e-05×40589641000000     		ar = 381972401.396849m²