Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10280 / 2088
↖ ↑ ↗
← N 79.004962°
E 45.878906°		 ← 465.99 m → N 79.004962°
E 45.900879°		 →
↑
466.10 m
↓
↑
466.10 m
↓
N 79.000771°
E 45.878906°		 ← 466.17 m →
217 241 m²		 N 79.000771°
E 45.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627471923828125 y=0.127471923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627471923828125 × 214)
    floor (0.627471923828125 × 16384)
    floor (10280.5)     		tx = 10280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127471923828125 × 214)
    floor (0.127471923828125 × 16384)
    floor (2088.5)     		ty = 2088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10280 / 2088 ti = "14/10280/2088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10280/2088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10280 ÷ 214
    10280 ÷ 16384     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2088 ÷ 214
    2088 ÷ 16384     		y = 0.12744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12744140625 × 2 - 1) × π
    0.7451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34085468224658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34085468224658))-π/2
    2×atan(10.3901130140519)-π/2
    2×1.47484652094657-π/2
    2.94969304189314-1.57079632675     		φ = 1.37889672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37889672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.004962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10280 KachelY 2088 0.80073797 1.37889672 45.878906 79.004962
    Oben rechts KachelX + 1 10281 KachelY 2088 0.80112147 1.37889672 45.900879 79.004962
    Unten links KachelX 10280 KachelY + 1 2089 0.80073797 1.37882356 45.878906 79.000771
    Unten rechts KachelX + 1 10281 KachelY + 1 2089 0.80112147 1.37882356 45.900879 79.000771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37889672-1.37882356) × R
    7.31599999999055e-05 × 6371000     		dl = 466.102359999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37889672-1.37882356) × R
    7.31599999999055e-05 × 6371000     		dr = 466.102359999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80112147) × cos(1.37889672) × R
    0.000383499999999981 × 0.190723975023126 × 6371000     		do = 465.991787608518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80112147) × cos(1.37882356) × R
    0.000383499999999981 × 0.190795791566172 × 6371000     		du = 466.167255424087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37889672)-sin(1.37882356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190723975023126-0.190795791566172)×R²
    abs(0.80112147-0.80073797)×7.18165430460271e-05×R²
    0.000383499999999981×7.18165430460271e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.18165430460271e-05×40589641000000     		ar = 217240.765023639m²