Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10287 / 2033
↖ ↑ ↗
← N 79.233081°
E 46.032715°		 ← 456.43 m → N 79.233081°
E 46.054687°		 →
↑
456.55 m
↓
↑
456.55 m
↓
N 79.228975°
E 46.032715°		 ← 456.60 m →
208 419 m²		 N 79.228975°
E 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627899169921875 y=0.124114990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627899169921875 × 214)
    floor (0.627899169921875 × 16384)
    floor (10287.5)     		tx = 10287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124114990234375 × 214)
    floor (0.124114990234375 × 16384)
    floor (2033.5)     		ty = 2033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10287 / 2033 ti = "14/10287/2033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10287/2033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10287 ÷ 214
    10287 ÷ 16384     		x = 0.62786865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2033 ÷ 214
    2033 ÷ 16384     		y = 0.12408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62786865234375 × 2 - 1) × π
    0.2557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80342244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12408447265625 × 2 - 1) × π
    0.7518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36194691807941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80342244} λ = 0.80342244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36194691807941))-π/2
    2×atan(10.6115912527753)-π/2
    2×1.47683723315976-π/2
    2.95367446631951-1.57079632675     		φ = 1.38287814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80342244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38287814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.233081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10287 KachelY 2033 0.80342244 1.38287814 46.032715 79.233081
    Oben rechts KachelX + 1 10288 KachelY 2033 0.80380593 1.38287814 46.054687 79.233081
    Unten links KachelX 10287 KachelY + 1 2034 0.80342244 1.38280648 46.032715 79.228975
    Unten rechts KachelX + 1 10288 KachelY + 1 2034 0.80380593 1.38280648 46.054687 79.228975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38287814-1.38280648) × R
    7.16600000001399e-05 × 6371000     		dl = 456.545860000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38287814-1.38280648) × R
    7.16600000001399e-05 × 6371000     		dr = 456.545860000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80342244-0.80380593) × cos(1.38287814) × R
    0.000383490000000042 × 0.18681413781705 × 6371000     		do = 456.427064495764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80342244-0.80380593) × cos(1.38280648) × R
    0.000383490000000042 × 0.186884535782793 × 6371000     		du = 456.599061846855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38287814)-sin(1.38280648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18681413781705-0.186884535782793)×R²
    abs(0.80380593-0.80342244)×7.03979657437903e-05×R²
    0.000383490000000042×7.03979657437903e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.03979657437903e-05×40589641000000     		ar = 208419.149116601m²