Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 103 / 167
↖ ↑ ↗
← S 47.989922°
W 35.156250°		 ← 104.651 km → S 47.989922°
W 33.750000°		 →
↑
103.698 km
↓
↑
103.698 km
↓
S 48.922499°
W 35.156250°		 ← 102.746 km →
10 753.6 km²		 S 48.922499°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404296875 y=0.654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404296875 × 28)
    floor (0.404296875 × 256)
    floor (103.5)     		tx = 103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654296875 × 28)
    floor (0.654296875 × 256)
    floor (167.5)     		ty = 167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 103 / 167 ti = "8/103/167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/103/167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103 ÷ 28
    103 ÷ 256     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 167 ÷ 28
    167 ÷ 256     		y = 0.65234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65234375 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957204011613281))-π/2
    2×atan(0.383964948075839)-π/2
    2×0.366607092971331-π/2
    0.733214185942662-1.57079632675     		φ = -0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103 KachelY 167 -0.61359232 -0.83758214 -35.156250 -47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 104 KachelY 167 -0.58904862 -0.83758214 -33.750000 -47.989922
    Unten links KachelX 103 KachelY + 1 168 -0.61359232 -0.85385869 -35.156250 -48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 104 KachelY + 1 168 -0.58904862 -0.85385869 -33.750000 -48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83758214--0.85385869) × R
    0.0162765500000001 × 6371000     		dl = 103697.90005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83758214--0.85385869) × R
    0.0162765500000001 × 6371000     		dr = 103697.90005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.58904862) × cos(-0.83758214) × R
    0.0245436999999999 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 104650.995016973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.58904862) × cos(-0.85385869) × R
    0.0245436999999999 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 102746.115725449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83758214)-sin(-0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.657079281492828)×R²
    abs(-0.58904862--0.61359232)×0.0121820343997202×R²
    0.0245436999999999×0.0121820343997202×6371000²
    0.0245436999999999×0.0121820343997202×40589641000000     		ar = 10753559839.466m²