Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 103 / 183
↖ ↑ ↗
← S 60.930432°
W 35.156250°		 ← 75.975 km → S 60.930432°
W 33.750000°		 →
↑
75.164 km
↓
↑
75.164 km
↓
S 61.606397°
W 35.156250°		 ← 74.357 km →
5 649.81 km²		 S 61.606397°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404296875 y=0.716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404296875 × 28)
    floor (0.404296875 × 256)
    floor (103.5)     		tx = 103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716796875 × 28)
    floor (0.716796875 × 256)
    floor (183.5)     		ty = 183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 103 / 183 ti = "8/103/183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/103/183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103 ÷ 28
    103 ÷ 256     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 183 ÷ 28
    183 ÷ 256     		y = 0.71484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71484375 × 2 - 1) × π
    -0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34990309330078))-π/2
    2×atan(0.259265383981145)-π/2
    2×0.253679835104725-π/2
    0.507359670209449-1.57079632675     		φ = -1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103 KachelY 183 -0.61359232 -1.06343666 -35.156250 -60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 104 KachelY 183 -0.58904862 -1.06343666 -33.750000 -60.930432
    Unten links KachelX 103 KachelY + 1 184 -0.61359232 -1.07523446 -35.156250 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 104 KachelY + 1 184 -0.58904862 -1.07523446 -33.750000 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06343666--1.07523446) × R
    0.0117977999999999 × 6371000     		dl = 75163.7837999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06343666--1.07523446) × R
    0.0117977999999999 × 6371000     		dr = 75163.7837999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.58904862) × cos(-1.06343666) × R
    0.0245436999999999 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 75974.667203392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.58904862) × cos(-1.07523446) × R
    0.0245436999999999 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 74357.0082830574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06343666)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.58904862--0.61359232)×0.0103452101674993×R²
    0.0245436999999999×0.0103452101674993×6371000²
    0.0245436999999999×0.0103452101674993×40589641000000     		ar = 5649814309.66575m²