Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 103 / 7
↖ ↑ ↗
← N 83.026219°
E109.687500°		 ← 37.971 km → N 83.026219°
E112.500000°		 →
↑
38.911 km
↓
↑
38.911 km
↓
N 82.676285°
E109.687500°		 ← 39.866 km →
1 514.35 km²		 N 82.676285°
E112.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80859375 y=0.05859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80859375 × 27)
    floor (0.80859375 × 128)
    floor (103.5)     		tx = 103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.05859375 × 27)
    floor (0.05859375 × 128)
    floor (7.5)     		ty = 7
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 103 / 7 ti = "7/103/7"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/103/7.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103 ÷ 27
    103 ÷ 128     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7 ÷ 27
    7 ÷ 128     		y = 0.0546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0546875 × 2 - 1) × π
    0.890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.79798095702344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79798095702344))-π/2
    2×atan(16.41147781857)-π/2
    2×1.50993860562963-π/2
    3.01987721125925-1.57079632675     		φ = 1.44908088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44908088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.026219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103 KachelY 7 1.91440802 1.44908088 109.687500 83.026219
    Oben rechts KachelX + 1 104 KachelY 7 1.96349541 1.44908088 112.500000 83.026219
    Unten links KachelX 103 KachelY + 1 8 1.91440802 1.44297339 109.687500 82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 104 KachelY + 1 8 1.96349541 1.44297339 112.500000 82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44908088-1.44297339) × R
    0.00610748999999999 × 6371000     		dl = 38910.81879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44908088-1.44297339) × R
    0.00610748999999999 × 6371000     		dr = 38910.81879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.96349541) × cos(1.44908088) × R
    0.04908739 × 0.121415140703967 × 6371000     		do = 37970.8565087536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.96349541) × cos(1.44297339) × R
    0.04908739 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 39866.0363189892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44908088)-sin(1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121415140703967-0.127475144203388)×R²
    abs(1.96349541-1.91440802)×0.00606000349942158×R²
    0.04908739×0.00606000349942158×6371000²
    0.04908739×0.00606000349942158×40589641000000     		ar = 1514353323.29727m²