Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1030 / 1030
↖ ↑ ↗
← S  1.054628°
E  1.054688°		 ← 19.543 km → S  1.054628°
E  1.230469°		 →
↑
19.542 km
↓
↑
19.542 km
↓
S  1.230374°
E  1.054688°		 ← 19.541 km →
381.893 km²		 S  1.230374°
E  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503173828125 y=0.503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503173828125 × 211)
    floor (0.503173828125 × 2048)
    floor (1030.5)     		tx = 1030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503173828125 × 211)
    floor (0.503173828125 × 2048)
    floor (1030.5)     		ty = 1030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1030 / 1030 ti = "11/1030/1030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1030/1030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1030 ÷ 211
    1030 ÷ 2048     		x = 0.5029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1030 ÷ 211
    1030 ÷ 2048     		y = 0.5029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01840777} λ = 0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0184077694541016))-π/2
    2×atan(0.981760618734067)-π/2
    2×0.776194798409588-π/2
    1.55238959681918-1.57079632675     		φ = -0.01840673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01840673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.054628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1030 KachelY 1030 0.01840777 -0.01840673 1.054688 -1.054628
    Oben rechts KachelX + 1 1031 KachelY 1030 0.02147573 -0.01840673 1.230469 -1.054628
    Unten links KachelX 1030 KachelY + 1 1031 0.01840777 -0.02147408 1.054688 -1.230374
    Unten rechts KachelX + 1 1031 KachelY + 1 1031 0.02147573 -0.02147408 1.230469 -1.230374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01840673--0.02147408) × R
    0.00306735 × 6371000     		dl = 19542.08685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01840673--0.02147408) × R
    0.00306735 × 6371000     		dr = 19542.08685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01840777-0.02147573) × cos(-0.01840673) × R
    0.00306796 × 0.999830600928244 × 6371000     		do = 19542.6620902901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01840777-0.02147573) × cos(-0.02147408) × R
    0.00306796 × 0.999769440804212 × 6371000     		du = 19541.4666561473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01840673)-sin(-0.02147408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999830600928244-0.999769440804212)×R²
    abs(0.02147573-0.01840777)×6.11601240317894e-05×R²
    0.00306796×6.11601240317894e-05×6371000²
    0.00306796×6.11601240317894e-05×40589641000000     		ar = 381893018.634146m²