Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10304 / 14400
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
E 46.406250°		 ← 448.08 m → S 79.432371°
E 46.428223°		 →
↑
448.01 m
↓
↑
448.01 m
↓
S 79.436400°
E 46.406250°		 ← 447.91 m →
200 704 m²		 S 79.436400°
E 46.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628936767578125 y=0.878936767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628936767578125 × 214)
    floor (0.628936767578125 × 16384)
    floor (10304.5)     		tx = 10304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878936767578125 × 214)
    floor (0.878936767578125 × 16384)
    floor (14400.5)     		ty = 14400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10304 / 14400 ti = "14/10304/14400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10304/14400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10304 ÷ 214
    10304 ÷ 16384     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14400 ÷ 214
    14400 ÷ 16384     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10304 KachelY 14400 0.80994186 -1.38635640 46.406250 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 10305 KachelY 14400 0.81032535 -1.38635640 46.428223 -79.432371
    Unten links KachelX 10304 KachelY + 1 14401 0.80994186 -1.38642672 46.406250 -79.436400
    Unten rechts KachelX + 1 10305 KachelY + 1 14401 0.81032535 -1.38642672 46.428223 -79.436400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38642672) × R
    7.03200000000681e-05 × 6371000     		dl = 448.008720000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38642672) × R
    7.03200000000681e-05 × 6371000     		dr = 448.008720000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81032535) × cos(-1.38635640) × R
    0.000383490000000042 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 448.075791408155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81032535) × cos(-1.38642672) × R
    0.000383490000000042 × 0.183326860685865 × 6371000     		du = 447.906897432023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38642672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.183326860685865)×R²
    abs(0.81032535-0.80994186)×6.91277642980437e-05×R²
    0.000383490000000042×6.91277642980437e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.91277642980437e-05×40589641000000     		ar = 200704.028867747m²