Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10305 / 2113
↖ ↑ ↗
← N 78.899700°
E 46.428223°		 ← 470.40 m → N 78.899700°
E 46.450196°		 →
↑
470.50 m
↓
↑
470.50 m
↓
N 78.895468°
E 46.428223°		 ← 470.57 m →
221 363 m²		 N 78.895468°
E 46.450196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628997802734375 y=0.128997802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628997802734375 × 214)
    floor (0.628997802734375 × 16384)
    floor (10305.5)     		tx = 10305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128997802734375 × 214)
    floor (0.128997802734375 × 16384)
    floor (2113.5)     		ty = 2113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10305 / 2113 ti = "14/10305/2113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10305/2113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10305 ÷ 214
    10305 ÷ 16384     		x = 0.62896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2113 ÷ 214
    2113 ÷ 16384     		y = 0.12896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    0.2579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81032535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12896728515625 × 2 - 1) × π
    0.7420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33126730232257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81032535} λ = 0.81032535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33126730232257))-π/2
    2×atan(10.2909750491778)-π/2
    2×1.47392793402185-π/2
    2.9478558680437-1.57079632675     		φ = 1.37705954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81032535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37705954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.899700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10305 KachelY 2113 0.81032535 1.37705954 46.428223 78.899700
    Oben rechts KachelX + 1 10306 KachelY 2113 0.81070885 1.37705954 46.450196 78.899700
    Unten links KachelX 10305 KachelY + 1 2114 0.81032535 1.37698569 46.428223 78.895468
    Unten rechts KachelX + 1 10306 KachelY + 1 2114 0.81070885 1.37698569 46.450196 78.895468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37705954-1.37698569) × R
    7.3850000000153e-05 × 6371000     		dl = 470.498350000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37705954-1.37698569) × R
    7.3850000000153e-05 × 6371000     		dr = 470.498350000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81032535-0.81070885) × cos(1.37705954) × R
    0.000383499999999981 × 0.192527108323651 × 6371000     		do = 470.397344434325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81032535-0.81070885) × cos(1.37698569) × R
    0.000383499999999981 × 0.192599576187317 × 6371000     		du = 470.574403607561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37705954)-sin(1.37698569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192527108323651-0.192599576187317)×R²
    abs(0.81070885-0.81032535)×7.24678636662701e-05×R²
    0.000383499999999981×7.24678636662701e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.24678636662701e-05×40589641000000     		ar = 221362.827524929m²