Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10308 / 2116
↖ ↑ ↗
← N 78.887002°
E 46.494141°		 ← 470.92 m → N 78.887002°
E 46.516113°		 →
↑
471.01 m
↓
↑
471.01 m
↓
N 78.882766°
E 46.494141°		 ← 471.09 m →
221 847 m²		 N 78.882766°
E 46.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629180908203125 y=0.129180908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629180908203125 × 214)
    floor (0.629180908203125 × 16384)
    floor (10308.5)     		tx = 10308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129180908203125 × 214)
    floor (0.129180908203125 × 16384)
    floor (2116.5)     		ty = 2116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10308 / 2116 ti = "14/10308/2116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10308/2116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10308 ÷ 214
    10308 ÷ 16384     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2116 ÷ 214
    2116 ÷ 16384     		y = 0.129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129150390625 × 2 - 1) × π
    0.74169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33011681673169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33011681673169))-π/2
    2×atan(10.2791422387117)-π/2
    2×1.47381712165177-π/2
    2.94763424330354-1.57079632675     		φ = 1.37683792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37683792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.887002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10308 KachelY 2116 0.81147584 1.37683792 46.494141 78.887002
    Oben rechts KachelX + 1 10309 KachelY 2116 0.81185933 1.37683792 46.516113 78.887002
    Unten links KachelX 10308 KachelY + 1 2117 0.81147584 1.37676399 46.494141 78.882766
    Unten rechts KachelX + 1 10309 KachelY + 1 2117 0.81185933 1.37676399 46.516113 78.882766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37683792-1.37676399) × R
    7.39300000001109e-05 × 6371000     		dl = 471.008030000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37683792-1.37676399) × R
    7.39300000001109e-05 × 6371000     		dr = 471.008030000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81185933) × cos(1.37683792) × R
    0.000383490000000042 × 0.192744577450471 × 6371000     		do = 470.916402319342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81185933) × cos(1.37676399) × R
    0.000383490000000042 × 0.19281712065952 × 6371000     		du = 471.093640960606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37683792)-sin(1.37676399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192744577450471-0.19281712065952)×R²
    abs(0.81185933-0.81147584)×7.25432090497857e-05×R²
    0.000383490000000042×7.25432090497857e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.25432090497857e-05×40589641000000     		ar = 221847.147464876m²