Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10310 / 2118
↖ ↑ ↗
← N 78.878528°
E 46.538086°		 ← 471.27 m → N 78.878528°
E 46.560058°		 →
↑
471.39 m
↓
↑
471.39 m
↓
N 78.874289°
E 46.538086°		 ← 471.45 m →
222 194 m²		 N 78.874289°
E 46.560058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629302978515625 y=0.129302978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629302978515625 × 214)
    floor (0.629302978515625 × 16384)
    floor (10310.5)     		tx = 10310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129302978515625 × 214)
    floor (0.129302978515625 × 16384)
    floor (2118.5)     		ty = 2118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10310 / 2118 ti = "14/10310/2118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10310/2118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10310 ÷ 214
    10310 ÷ 16384     		x = 0.6292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2118 ÷ 214
    2118 ÷ 16384     		y = 0.1292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    0.258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81224283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1292724609375 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32934982633777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81224283} λ = 0.81224283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32934982633777))-π/2
    2×atan(10.2712612580615)-π/2
    2×1.47374317720891-π/2
    2.94748635441782-1.57079632675     		φ = 1.37669003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81224283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37669003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.878528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10310 KachelY 2118 0.81224283 1.37669003 46.538086 78.878528
    Oben rechts KachelX + 1 10311 KachelY 2118 0.81262632 1.37669003 46.560058 78.878528
    Unten links KachelX 10310 KachelY + 1 2119 0.81224283 1.37661604 46.538086 78.874289
    Unten rechts KachelX + 1 10311 KachelY + 1 2119 0.81262632 1.37661604 46.560058 78.874289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37669003-1.37661604) × R
    7.39899999999682e-05 × 6371000     		dl = 471.390289999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37669003-1.37661604) × R
    7.39899999999682e-05 × 6371000     		dr = 471.390289999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81224283-0.81262632) × cos(1.37669003) × R
    0.000383490000000042 × 0.192889692251314 × 6371000     		do = 471.270948947009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81224283-0.81262632) × cos(1.37661604) × R
    0.000383490000000042 × 0.19296229222417 × 6371000     		du = 471.448326274445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37669003)-sin(1.37661604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192889692251314-0.19296229222417)×R²
    abs(0.81262632-0.81224283)×7.2599972856191e-05×R²
    0.000383490000000042×7.2599972856191e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.2599972856191e-05×40589641000000     		ar = 222194.356368267m²