Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10312 / 14408
↖ ↑ ↗
← S 79.464560°
E 46.582031°		 ← 446.73 m → S 79.464560°
E 46.604004°		 →
↑
446.61 m
↓
↑
446.61 m
↓
S 79.468576°
E 46.582031°		 ← 446.56 m →
199 474 m²		 S 79.468576°
E 46.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629425048828125 y=0.879425048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629425048828125 × 214)
    floor (0.629425048828125 × 16384)
    floor (10312.5)     		tx = 10312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879425048828125 × 214)
    floor (0.879425048828125 × 16384)
    floor (14408.5)     		ty = 14408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10312 / 14408 ti = "14/10312/14408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10312/14408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10312 ÷ 214
    10312 ÷ 16384     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14408 ÷ 214
    14408 ÷ 16384     		y = 0.87939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87939453125 × 2 - 1) × π
    -0.7587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38380614430615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38380614430615))-π/2
    2×atan(0.0921989861848328)-π/2
    2×0.0919390600962043-π/2
    0.183878120192409-1.57079632675     		φ = -1.38691821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38691821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.464560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10312 KachelY 14408 0.81300982 -1.38691821 46.582031 -79.464560
    Oben rechts KachelX + 1 10313 KachelY 14408 0.81339331 -1.38691821 46.604004 -79.464560
    Unten links KachelX 10312 KachelY + 1 14409 0.81300982 -1.38698831 46.582031 -79.468576
    Unten rechts KachelX + 1 10313 KachelY + 1 14409 0.81339331 -1.38698831 46.604004 -79.468576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38691821--1.38698831) × R
    7.01000000000729e-05 × 6371000     		dl = 446.607100000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38691821--1.38698831) × R
    7.01000000000729e-05 × 6371000     		dr = 446.607100000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81339331) × cos(-1.38691821) × R
    0.000383490000000042 × 0.182843678328536 × 6371000     		do = 446.72637915033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81339331) × cos(-1.38698831) × R
    0.000383490000000042 × 0.182774759625247 × 6371000     		du = 446.557995955147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38691821)-sin(-1.38698831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182843678328536-0.182774759625247)×R²
    abs(0.81339331-0.81300982)×6.8918703289178e-05×R²
    0.000383490000000042×6.8918703289178e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.8918703289178e-05×40589641000000     		ar = 199473.572203391m²