Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10312 / 2120
↖ ↑ ↗
← N 78.870049°
E 46.582031°		 ← 471.63 m → N 78.870049°
E 46.604004°		 →
↑
471.71 m
↓
↑
471.71 m
↓
N 78.865806°
E 46.582031°		 ← 471.80 m →
222 512 m²		 N 78.865806°
E 46.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629425048828125 y=0.129425048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629425048828125 × 214)
    floor (0.629425048828125 × 16384)
    floor (10312.5)     		tx = 10312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129425048828125 × 214)
    floor (0.129425048828125 × 16384)
    floor (2120.5)     		ty = 2120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10312 / 2120 ti = "14/10312/2120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10312/2120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10312 ÷ 214
    10312 ÷ 16384     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2120 ÷ 214
    2120 ÷ 16384     		y = 0.12939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12939453125 × 2 - 1) × π
    0.7412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32858283594385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32858283594385))-π/2
    2×atan(10.2633863197302)-π/2
    2×1.47366917709551-π/2
    2.94733835419102-1.57079632675     		φ = 1.37654203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37654203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.870049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10312 KachelY 2120 0.81300982 1.37654203 46.582031 78.870049
    Oben rechts KachelX + 1 10313 KachelY 2120 0.81339331 1.37654203 46.604004 78.870049
    Unten links KachelX 10312 KachelY + 1 2121 0.81300982 1.37646799 46.582031 78.865806
    Unten rechts KachelX + 1 10313 KachelY + 1 2121 0.81339331 1.37646799 46.604004 78.865806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37654203-1.37646799) × R
    7.40399999998864e-05 × 6371000     		dl = 471.708839999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37654203-1.37646799) × R
    7.40399999998864e-05 × 6371000     		dr = 471.708839999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81339331) × cos(1.37654203) × R
    0.000383490000000042 × 0.193034910764488 × 6371000     		do = 471.625748966178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81339331) × cos(1.37646799) × R
    0.000383490000000042 × 0.193107557682789 × 6371000     		du = 471.803240991419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37654203)-sin(1.37646799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193034910764488-0.193107557682789)×R²
    abs(0.81339331-0.81300982)×7.26469183010003e-05×R²
    0.000383490000000042×7.26469183010003e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.26469183010003e-05×40589641000000     		ar = 222511.89733804m²