Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10313 / 2119
↖ ↑ ↗
← N 78.874289°
E 46.604004°		 ← 471.46 m → N 78.874289°
E 46.625977°		 →
↑
471.52 m
↓
↑
471.52 m
↓
N 78.870049°
E 46.604004°		 ← 471.64 m →
222 344 m²		 N 78.870049°
E 46.625977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629486083984375 y=0.129364013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629486083984375 × 214)
    floor (0.629486083984375 × 16384)
    floor (10313.5)     		tx = 10313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129364013671875 × 214)
    floor (0.129364013671875 × 16384)
    floor (2119.5)     		ty = 2119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10313 / 2119 ti = "14/10313/2119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10313/2119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10313 ÷ 214
    10313 ÷ 16384     		x = 0.62945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2119 ÷ 214
    2119 ÷ 16384     		y = 0.12933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81339331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12933349609375 × 2 - 1) × π
    0.7413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32896633114081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81339331} λ = 0.81339331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32896633114081))-π/2
    2×atan(10.2673230338956)-π/2
    2×1.47370618411355-π/2
    2.94741236822709-1.57079632675     		φ = 1.37661604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81339331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37661604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.874289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10313 KachelY 2119 0.81339331 1.37661604 46.604004 78.874289
    Oben rechts KachelX + 1 10314 KachelY 2119 0.81377681 1.37661604 46.625977 78.874289
    Unten links KachelX 10313 KachelY + 1 2120 0.81339331 1.37654203 46.604004 78.870049
    Unten rechts KachelX + 1 10314 KachelY + 1 2120 0.81377681 1.37654203 46.625977 78.870049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37661604-1.37654203) × R
    7.40100000000687e-05 × 6371000     		dl = 471.517710000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37661604-1.37654203) × R
    7.40100000000687e-05 × 6371000     		dr = 471.517710000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81339331-0.81377681) × cos(1.37661604) × R
    0.000383499999999981 × 0.19296229222417 × 6371000     		do = 471.460619902008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81339331-0.81377681) × cos(1.37654203) × R
    0.000383499999999981 × 0.193034910764488 × 6371000     		du = 471.638047220269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37661604)-sin(1.37654203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19296229222417-0.193034910764488)×R²
    abs(0.81377681-0.81339331)×7.26185403181479e-05×R²
    0.000383499999999981×7.26185403181479e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.26185403181479e-05×40589641000000     		ar = 222343.862014767m²