Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10320 / 14416
↖ ↑ ↗
← S 79.496652°
E 46.757813°		 ← 445.38 m → S 79.496652°
E 46.779785°		 →
↑
445.27 m
↓
↑
445.27 m
↓
S 79.500656°
E 46.757813°		 ← 445.21 m →
198 277 m²		 S 79.500656°
E 46.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629913330078125 y=0.879913330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629913330078125 × 214)
    floor (0.629913330078125 × 16384)
    floor (10320.5)     		tx = 10320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879913330078125 × 214)
    floor (0.879913330078125 × 16384)
    floor (14416.5)     		ty = 14416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10320 / 14416 ti = "14/10320/14416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10320/14416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10320 ÷ 214
    10320 ÷ 16384     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14416 ÷ 214
    14416 ÷ 16384     		y = 0.8798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8798828125 × 2 - 1) × π
    -0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38687410588184))-π/2
    2×atan(0.0919165567008311)-π/2
    2×0.0916590039868273-π/2
    0.183318007973655-1.57079632675     		φ = -1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10320 KachelY 14416 0.81607778 -1.38747832 46.757813 -79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 10321 KachelY 14416 0.81646127 -1.38747832 46.779785 -79.496652
    Unten links KachelX 10320 KachelY + 1 14417 0.81607778 -1.38754821 46.757813 -79.500656
    Unten rechts KachelX + 1 10321 KachelY + 1 14417 0.81646127 -1.38754821 46.779785 -79.500656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38747832--1.38754821) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dl = 445.269190000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38747832--1.38754821) × R
    6.98900000000169e-05 × 6371000     		dr = 445.269190000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.81646127) × cos(-1.38747832) × R
    0.000383490000000042 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 445.380909763441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.81646127) × cos(-1.38754821) × R
    0.000383490000000042 × 0.1822242626251 × 6371000     		du = 445.213013542538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38747832)-sin(-1.38754821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.1822242626251)×R²
    abs(0.81646127-0.81607778)×6.87193862734525e-05×R²
    0.000383490000000042×6.87193862734525e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.87193862734525e-05×40589641000000     		ar = 198277.017505801m²