Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10328 / 2104
↖ ↑ ↗
← N 78.937709°
E 46.933594°		 ← 468.81 m → N 78.937709°
E 46.955567°		 →
↑
468.91 m
↓
↑
468.91 m
↓
N 78.933492°
E 46.933594°		 ← 468.98 m →
219 867 m²		 N 78.933492°
E 46.955567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630401611328125 y=0.128448486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630401611328125 × 214)
    floor (0.630401611328125 × 16384)
    floor (10328.5)     		tx = 10328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128448486328125 × 214)
    floor (0.128448486328125 × 16384)
    floor (2104.5)     		ty = 2104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10328 / 2104 ti = "14/10328/2104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10328/2104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10328 ÷ 214
    10328 ÷ 16384     		x = 0.63037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2104 ÷ 214
    2104 ÷ 16384     		y = 0.12841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    0.2607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81914574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    0.7431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33471875909521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81914574} λ = 0.81914574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33471875909521))-π/2
    2×atan(10.3265552711865)-π/2
    2×1.47425962148049-π/2
    2.94851924296098-1.57079632675     		φ = 1.37772292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81914574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37772292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.937709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10328 KachelY 2104 0.81914574 1.37772292 46.933594 78.937709
    Oben rechts KachelX + 1 10329 KachelY 2104 0.81952924 1.37772292 46.955567 78.937709
    Unten links KachelX 10328 KachelY + 1 2105 0.81914574 1.37764932 46.933594 78.933492
    Unten rechts KachelX + 1 10329 KachelY + 1 2105 0.81952924 1.37764932 46.955567 78.933492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37772292-1.37764932) × R
    7.3600000000118e-05 × 6371000     		dl = 468.905600000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37772292-1.37764932) × R
    7.3600000000118e-05 × 6371000     		dr = 468.905600000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81914574-0.81952924) × cos(1.37772292) × R
    0.000383500000000092 × 0.19187609675018 × 6371000     		do = 468.806741853747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81914574-0.81952924) × cos(1.37764932) × R
    0.000383500000000092 × 0.191948328680444 × 6371000     		du = 468.983224575974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37772292)-sin(1.37764932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19187609675018-0.191948328680444)×R²
    abs(0.81952924-0.81914574)×7.22319302638996e-05×R²
    0.000383500000000092×7.22319302638996e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.22319302638996e-05×40589641000000     		ar = 219867.483540214m²