Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1033 / 1031
↖ ↑ ↗
← S  1.230374°
E  1.582031°		 ← 19.542 km → S  1.230374°
E  1.757813°		 →
↑
19.541 km
↓
↑
19.541 km
↓
S  1.406109°
E  1.582031°		 ← 19.540 km →
381.844 km²		 S  1.406109°
E  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504638671875 y=0.503662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504638671875 × 211)
    floor (0.504638671875 × 2048)
    floor (1033.5)     		tx = 1033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503662109375 × 211)
    floor (0.503662109375 × 2048)
    floor (1031.5)     		ty = 1031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1033 / 1031 ti = "11/1033/1031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1033/1031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1033 ÷ 211
    1033 ÷ 2048     		x = 0.50439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1031 ÷ 211
    1031 ÷ 2048     		y = 0.50341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02761165} λ = 0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0214757310297852))-π/2
    2×atan(0.978753230513914)-π/2
    2×0.774661123183897-π/2
    1.54932224636779-1.57079632675     		φ = -0.02147408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02147408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.230374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1033 KachelY 1031 0.02761165 -0.02147408 1.582031 -1.230374
    Oben rechts KachelX + 1 1034 KachelY 1031 0.03067962 -0.02147408 1.757813 -1.230374
    Unten links KachelX 1033 KachelY + 1 1032 0.02761165 -0.02454123 1.582031 -1.406109
    Unten rechts KachelX + 1 1034 KachelY + 1 1032 0.03067962 -0.02454123 1.757813 -1.406109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02147408--0.02454123) × R
    0.00306715 × 6371000     		dl = 19540.81265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02147408--0.02454123) × R
    0.00306715 × 6371000     		dr = 19540.81265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02761165-0.03067962) × cos(-0.02147408) × R
    0.00306797 × 0.999769440804212 × 6371000     		do = 19541.5303514584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02761165-0.03067962) × cos(-0.02454123) × R
    0.00306797 × 0.999698879128554 × 6371000     		du = 19540.1511503444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02147408)-sin(-0.02454123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999769440804212-0.999698879128554)×R²
    abs(0.03067962-0.02761165)×7.05616756583316e-05×R²
    0.00306797×7.05616756583316e-05×6371000²
    0.00306797×7.05616756583316e-05×40589641000000     		ar = 381844207.483953m²