Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10336 / 14304
↖ ↑ ↗
← S 79.038438°
E 47.109375°		 ← 464.59 m → S 79.038438°
E 47.131348°		 →
↑
464.51 m
↓
↑
464.51 m
↓
S 79.042615°
E 47.109375°		 ← 464.42 m →
215 766 m²		 S 79.042615°
E 47.131348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630889892578125 y=0.873077392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630889892578125 × 214)
    floor (0.630889892578125 × 16384)
    floor (10336.5)     		tx = 10336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.873077392578125 × 214)
    floor (0.873077392578125 × 16384)
    floor (14304.5)     		ty = 14304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10336 / 14304 ti = "14/10336/14304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10336/14304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10336 ÷ 214
    10336 ÷ 16384     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14304 ÷ 214
    14304 ÷ 16384     		y = 0.873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.873046875 × 2 - 1) × π
    -0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.34392264382227))-π/2
    2×atan(0.0959505193505618)-π/2
    2×0.0956576790560577-π/2
    0.191315358112115-1.57079632675     		φ = -1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10336 KachelY 14304 0.82221370 -1.37948097 47.109375 -79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 10337 KachelY 14304 0.82259720 -1.37948097 47.131348 -79.038438
    Unten links KachelX 10336 KachelY + 1 14305 0.82221370 -1.37955388 47.109375 -79.042615
    Unten rechts KachelX + 1 10337 KachelY + 1 14305 0.82259720 -1.37955388 47.131348 -79.042615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37948097--1.37955388) × R
    7.29100000000926e-05 × 6371000     		dl = 464.50961000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37948097--1.37955388) × R
    7.29100000000926e-05 × 6371000     		dr = 464.50961000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.82259720) × cos(-1.37948097) × R
    0.000383499999999981 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 464.5904260349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.82259720) × cos(-1.37955388) × R
    0.000383499999999981 × 0.190078836908826 × 6371000     		du = 464.415535524318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37948097)-sin(-1.37955388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.190078836908826)×R²
    abs(0.82259720-0.82221370)×7.15802601223836e-05×R²
    0.000383499999999981×7.15802601223836e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.15802601223836e-05×40589641000000     		ar = 215766.098540627m²