Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10336 / 2016
↖ ↑ ↗
← N 79.302640°
E 47.109375°		 ← 453.52 m → N 79.302640°
E 47.131348°		 →
↑
453.62 m
↓
↑
453.62 m
↓
N 79.298560°
E 47.109375°		 ← 453.70 m →
205 764 m²		 N 79.298560°
E 47.131348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630889892578125 y=0.123077392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630889892578125 × 214)
    floor (0.630889892578125 × 16384)
    floor (10336.5)     		tx = 10336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123077392578125 × 214)
    floor (0.123077392578125 × 16384)
    floor (2016.5)     		ty = 2016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10336 / 2016 ti = "14/10336/2016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10336/2016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10336 ÷ 214
    10336 ÷ 16384     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2016 ÷ 214
    2016 ÷ 16384     		y = 0.123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123046875 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36846633642773))-π/2
    2×atan(10.6809986576139)-π/2
    2×1.4774442468416-π/2
    2.9548884936832-1.57079632675     		φ = 1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10336 KachelY 2016 0.82221370 1.38409217 47.109375 79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 10337 KachelY 2016 0.82259720 1.38409217 47.131348 79.302640
    Unten links KachelX 10336 KachelY + 1 2017 0.82221370 1.38402097 47.109375 79.298560
    Unten rechts KachelX + 1 10337 KachelY + 1 2017 0.82259720 1.38402097 47.131348 79.298560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38409217-1.38402097) × R
    7.1200000000049e-05 × 6371000     		dl = 453.615200000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38409217-1.38402097) × R
    7.1200000000049e-05 × 6371000     		dr = 453.615200000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.82259720) × cos(1.38409217) × R
    0.000383499999999981 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 453.524636746104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.82259720) × cos(1.38402097) × R
    0.000383499999999981 × 0.185691305273135 × 6371000     		du = 453.695573810766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38409217)-sin(1.38402097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.185691305273135)×R²
    abs(0.82259720-0.82221370)×6.99621695449959e-05×R²
    0.000383499999999981×6.99621695449959e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.99621695449959e-05×40589641000000     		ar = 205764.438715073m²