Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10337 / 2143
↖ ↑ ↗
← N 78.772071°
E 47.131348°		 ← 475.72 m → N 78.772071°
E 47.153320°		 →
↑
475.85 m
↓
↑
475.85 m
↓
N 78.767792°
E 47.131348°		 ← 475.90 m →
226 416 m²		 N 78.767792°
E 47.153320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630950927734375 y=0.130828857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630950927734375 × 214)
    floor (0.630950927734375 × 16384)
    floor (10337.5)     		tx = 10337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130828857421875 × 214)
    floor (0.130828857421875 × 16384)
    floor (2143.5)     		ty = 2143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10337 / 2143 ti = "14/10337/2143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10337/2143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10337 ÷ 214
    10337 ÷ 16384     		x = 0.63092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2143 ÷ 214
    2143 ÷ 16384     		y = 0.13079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63092041015625 × 2 - 1) × π
    0.2618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82259720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13079833984375 × 2 - 1) × π
    0.7384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31976244641376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82259720} λ = 0.82259720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31976244641376))-π/2
    2×atan(10.1732573252421)-π/2
    2×1.47281416141775-π/2
    2.94562832283551-1.57079632675     		φ = 1.37483200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82259720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.131348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37483200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.772071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10337 KachelY 2143 0.82259720 1.37483200 47.131348 78.772071
    Oben rechts KachelX + 1 10338 KachelY 2143 0.82298069 1.37483200 47.153320 78.772071
    Unten links KachelX 10337 KachelY + 1 2144 0.82259720 1.37475731 47.131348 78.767792
    Unten rechts KachelX + 1 10338 KachelY + 1 2144 0.82298069 1.37475731 47.153320 78.767792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37483200-1.37475731) × R
    7.46900000001549e-05 × 6371000     		dl = 475.849990000987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37483200-1.37475731) × R
    7.46900000001549e-05 × 6371000     		dr = 475.849990000987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82259720-0.82298069) × cos(1.37483200) × R
    0.000383489999999931 × 0.194712495276335 × 6371000     		do = 475.72444825686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82259720-0.82298069) × cos(1.37475731) × R
    0.000383489999999931 × 0.194785755193382 × 6371000     		du = 475.903437969703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37483200)-sin(1.37475731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194712495276335-0.194785755193382)×R²
    abs(0.82298069-0.82259720)×7.32599170469583e-05×R²
    0.000383489999999931×7.32599170469583e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.32599170469583e-05×40589641000000     		ar = 226416.060178932m²