Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10337 / 2145
↖ ↑ ↗
← N 78.763511°
E 47.131348°		 ← 476.08 m → N 78.763511°
E 47.153320°		 →
↑
476.17 m
↓
↑
476.17 m
↓
N 78.759229°
E 47.131348°		 ← 476.26 m →
226 738 m²		 N 78.759229°
E 47.153320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630950927734375 y=0.130950927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630950927734375 × 214)
    floor (0.630950927734375 × 16384)
    floor (10337.5)     		tx = 10337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130950927734375 × 214)
    floor (0.130950927734375 × 16384)
    floor (2145.5)     		ty = 2145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10337 / 2145 ti = "14/10337/2145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10337/2145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10337 ÷ 214
    10337 ÷ 16384     		x = 0.63092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2145 ÷ 214
    2145 ÷ 16384     		y = 0.13092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63092041015625 × 2 - 1) × π
    0.2618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82259720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13092041015625 × 2 - 1) × π
    0.7381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31899545601984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82259720} λ = 0.82259720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31899545601984))-π/2
    2×atan(10.1654575261666)-π/2
    2×1.47273946201477-π/2
    2.94547892402954-1.57079632675     		φ = 1.37468260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82259720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.131348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37468260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.763511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10337 KachelY 2145 0.82259720 1.37468260 47.131348 78.763511
    Oben rechts KachelX + 1 10338 KachelY 2145 0.82298069 1.37468260 47.153320 78.763511
    Unten links KachelX 10337 KachelY + 1 2146 0.82259720 1.37460786 47.131348 78.759229
    Unten rechts KachelX + 1 10338 KachelY + 1 2146 0.82298069 1.37460786 47.153320 78.759229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37468260-1.37460786) × R
    7.47400000000731e-05 × 6371000     		dl = 476.168540000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37468260-1.37460786) × R
    7.47400000000731e-05 × 6371000     		dr = 476.168540000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82259720-0.82298069) × cos(1.37468260) × R
    0.000383489999999931 × 0.194859033640422 × 6371000     		do = 476.082472955302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82259720-0.82298069) × cos(1.37460786) × R
    0.000383489999999931 × 0.194932340424342 × 6371000     		du = 476.261577173982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37468260)-sin(1.37460786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194859033640422-0.194932340424342)×R²
    abs(0.82298069-0.82259720)×7.33067839197854e-05×R²
    0.000383489999999931×7.33067839197854e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.33067839197854e-05×40589641000000     		ar = 226738.138069886m²