Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1034 / 1018
↖ ↑ ↗
← N  1.054628°
E  1.757813°		 ← 19.543 km → N  1.054628°
E  1.933594°		 →
↑
19.543 km
↓
↑
19.543 km
↓
N  0.878872°
E  1.757813°		 ← 19.544 km →
381.936 km²		 N  0.878872°
E  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505126953125 y=0.497314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505126953125 × 211)
    floor (0.505126953125 × 2048)
    floor (1034.5)     		tx = 1034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497314453125 × 211)
    floor (0.497314453125 × 2048)
    floor (1018.5)     		ty = 1018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1034 / 1018 ti = "11/1034/1018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1034/1018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1034 ÷ 211
    1034 ÷ 2048     		x = 0.5048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1018 ÷ 211
    1018 ÷ 2048     		y = 0.4970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5048828125 × 2 - 1) × π
    0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03067962} λ = 0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0184077694541016))-π/2
    2×atan(1.01857823681037)-π/2
    2×0.794601528385309-π/2
    1.58920305677062-1.57079632675     		φ = 0.01840673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01840673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.054628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1034 KachelY 1018 0.03067962 0.01840673 1.757813 1.054628
    Oben rechts KachelX + 1 1035 KachelY 1018 0.03374758 0.01840673 1.933594 1.054628
    Unten links KachelX 1034 KachelY + 1 1019 0.03067962 0.01533921 1.757813 0.878872
    Unten rechts KachelX + 1 1035 KachelY + 1 1019 0.03374758 0.01533921 1.933594 0.878872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01840673-0.01533921) × R
    0.00306752 × 6371000     		dl = 19543.16992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01840673-0.01533921) × R
    0.00306752 × 6371000     		dr = 19543.16992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03067962-0.03374758) × cos(0.01840673) × R
    0.00306796 × 0.999830600928244 × 6371000     		do = 19542.6620902901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03067962-0.03374758) × cos(0.01533921) × R
    0.00306796 × 0.999882356625021 × 6371000     		du = 19543.6737057502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01840673)-sin(0.01533921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999830600928244-0.999882356625021)×R²
    abs(0.03374758-0.03067962)×5.17556967770672e-05×R²
    0.00306796×5.17556967770672e-05×6371000²
    0.00306796×5.17556967770672e-05×40589641000000     		ar = 381935750.49721m²