Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1034 / 3082
↖ ↑ ↗
← N 40.647304°
W134.560547°		 ← 3 707.55 m → N 40.647304°
W134.516602°		 →
↑
3 708.50 m
↓
↑
3 708.50 m
↓
N 40.613952°
W134.560547°		 ← 3 709.40 m →
13 752 857 m²		 N 40.613952°
W134.516602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12628173828125 y=0.37628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12628173828125 × 213)
    floor (0.12628173828125 × 8192)
    floor (1034.5)     		tx = 1034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37628173828125 × 213)
    floor (0.37628173828125 × 8192)
    floor (3082.5)     		ty = 3082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1034 / 3082 ti = "13/1034/3082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1034/3082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1034 ÷ 213
    1034 ÷ 8192     		x = 0.126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3082 ÷ 213
    3082 ÷ 8192     		y = 0.376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126220703125 × 2 - 1) × π
    -0.74755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34852459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    0.24755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.777728259435791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34852459} λ = -2.34852459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.777728259435791))-π/2
    2×atan(2.17652215127949)-π/2
    2×1.14011280300083-π/2
    2.28022560600167-1.57079632675     		φ = 0.70942928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34852459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70942928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.647304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1034 KachelY 3082 -2.34852459 0.70942928 -134.560547 40.647304
    Oben rechts KachelX + 1 1035 KachelY 3082 -2.34775760 0.70942928 -134.516602 40.647304
    Unten links KachelX 1034 KachelY + 1 3083 -2.34852459 0.70884719 -134.560547 40.613952
    Unten rechts KachelX + 1 1035 KachelY + 1 3083 -2.34775760 0.70884719 -134.516602 40.613952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70942928-0.70884719) × R
    0.000582090000000091 × 6371000     		dl = 3708.49539000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70942928-0.70884719) × R
    0.000582090000000091 × 6371000     		dr = 3708.49539000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34852459--2.34775760) × cos(0.70942928) × R
    0.000766989999999801 × 0.758733767032798 × 6371000     		do = 3707.54746150123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34852459--2.34775760) × cos(0.70884719) × R
    0.000766989999999801 × 0.759112812393264 × 6371000     		du = 3709.39966411175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70942928)-sin(0.70884719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758733767032798-0.759112812393264)×R²
    abs(-2.34775760--2.34852459)×0.000379045360465624×R²
    0.000766989999999801×0.000379045360465624×6371000²
    0.000766989999999801×0.000379045360465624×40589641000000     		ar = 13752857.4999297m²