Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10367 / 6273
↖ ↑ ↗
← N 38.805470°
E 47.790527°		 ← 1 903.99 m → N 38.805470°
E 47.812500°		 →
↑
1 904.16 m
↓
↑
1 904.16 m
↓
N 38.788345°
E 47.790527°		 ← 1 904.45 m →
3 625 952 m²		 N 38.788345°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632781982421875 y=0.382904052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632781982421875 × 214)
    floor (0.632781982421875 × 16384)
    floor (10367.5)     		tx = 10367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382904052734375 × 214)
    floor (0.382904052734375 × 16384)
    floor (6273.5)     		ty = 6273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10367 / 6273 ti = "14/10367/6273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10367/6273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10367 ÷ 214
    10367 ÷ 16384     		x = 0.63275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6273 ÷ 214
    6273 ÷ 16384     		y = 0.38287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.735927282967102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83410205} λ = 0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.735927282967102))-π/2
    2×atan(2.08741672131678)-π/2
    2×1.12403977497879-π/2
    2.24807954995757-1.57079632675     		φ = 0.67728322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67728322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.805470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10367 KachelY 6273 0.83410205 0.67728322 47.790527 38.805470
    Oben rechts KachelX + 1 10368 KachelY 6273 0.83448555 0.67728322 47.812500 38.805470
    Unten links KachelX 10367 KachelY + 1 6274 0.83410205 0.67698434 47.790527 38.788345
    Unten rechts KachelX + 1 10368 KachelY + 1 6274 0.83448555 0.67698434 47.812500 38.788345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67728322-0.67698434) × R
    0.000298880000000001 × 6371000     		dl = 1904.16448000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67728322-0.67698434) × R
    0.000298880000000001 × 6371000     		dr = 1904.16448000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83410205-0.83448555) × cos(0.67728322) × R
    0.000383499999999981 × 0.779278139372293 × 6371000     		do = 1903.99352344823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83410205-0.83448555) × cos(0.67698434) × R
    0.000383499999999981 × 0.779465406147364 × 6371000     		du = 1904.45106833353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67728322)-sin(0.67698434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779278139372293-0.779465406147364)×R²
    abs(0.83448555-0.83410205)×0.000187266775070749×R²
    0.000383499999999981×0.000187266775070749×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187266775070749×40589641000000     		ar = 3625952.48485256m²