Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10368 / 14464
↖ ↑ ↗
← S 79.687184°
E 47.812500°		 ← 437.39 m → S 79.687184°
E 47.834472°		 →
↑
437.31 m
↓
↑
437.31 m
↓
S 79.691117°
E 47.812500°		 ← 437.22 m →
191 237 m²		 S 79.691117°
E 47.834472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632843017578125 y=0.882843017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632843017578125 × 214)
    floor (0.632843017578125 × 16384)
    floor (10368.5)     		tx = 10368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882843017578125 × 214)
    floor (0.882843017578125 × 16384)
    floor (14464.5)     		ty = 14464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10368 / 14464 ti = "14/10368/14464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10368/14464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10368 ÷ 214
    10368 ÷ 16384     		x = 0.6328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14464 ÷ 214
    14464 ÷ 16384     		y = 0.8828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6328125 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8828125 × 2 - 1) × π
    -0.765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83448555} λ = 0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40528187533594))-π/2
    2×atan(0.0902400555785128)-π/2
    2×0.0899962958339908-π/2
    0.179992591667982-1.57079632675     		φ = -1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10368 KachelY 14464 0.83448555 -1.39080374 47.812500 -79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 10369 KachelY 14464 0.83486904 -1.39080374 47.834472 -79.687184
    Unten links KachelX 10368 KachelY + 1 14465 0.83448555 -1.39087238 47.812500 -79.691117
    Unten rechts KachelX + 1 10369 KachelY + 1 14465 0.83486904 -1.39087238 47.834472 -79.691117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39080374--1.39087238) × R
    6.86400000000642e-05 × 6371000     		dl = 437.305440000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39080374--1.39087238) × R
    6.86400000000642e-05 × 6371000     		dr = 437.305440000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83448555-0.83486904) × cos(-1.39080374) × R
    0.000383489999999931 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 437.389882200799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83448555-0.83486904) × cos(-1.39087238) × R
    0.000383489999999931 × 0.178954748441977 × 6371000     		du = 437.22488813409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39080374)-sin(-1.39087238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.178954748441977)×R²
    abs(0.83486904-0.83448555)×6.753154384323e-05×R²
    0.000383489999999931×6.753154384323e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.753154384323e-05×40589641000000     		ar = 191236.89855964m²