Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10369 / 6271
↖ ↑ ↗
← N 38.839708°
E 47.834472°		 ← 1 903.08 m → N 38.839708°
E 47.856445°		 →
↑
1 903.27 m
↓
↑
1 903.27 m
↓
N 38.822591°
E 47.834472°		 ← 1 903.54 m →
3 622 512 m²		 N 38.822591°
E 47.856445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632904052734375 y=0.382781982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632904052734375 × 214)
    floor (0.632904052734375 × 16384)
    floor (10369.5)     		tx = 10369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382781982421875 × 214)
    floor (0.382781982421875 × 16384)
    floor (6271.5)     		ty = 6271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10369 / 6271 ti = "14/10369/6271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10369/6271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10369 ÷ 214
    10369 ÷ 16384     		x = 0.63287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6271 ÷ 214
    6271 ÷ 16384     		y = 0.38275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63287353515625 × 2 - 1) × π
    0.2657470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83486904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38275146484375 × 2 - 1) × π
    0.2344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.736694273361023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83486904} λ = 0.83486904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736694273361023))-π/2
    2×atan(2.08901836403391)-π/2
    2×1.12433855257338-π/2
    2.24867710514677-1.57079632675     		φ = 0.67788078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83486904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.834472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67788078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.839708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10369 KachelY 6271 0.83486904 0.67788078 47.834472 38.839708
    Oben rechts KachelX + 1 10370 KachelY 6271 0.83525254 0.67788078 47.856445 38.839708
    Unten links KachelX 10369 KachelY + 1 6272 0.83486904 0.67758204 47.834472 38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 10370 KachelY + 1 6272 0.83525254 0.67758204 47.856445 38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67788078-0.67758204) × R
    0.000298739999999964 × 6371000     		dl = 1903.27253999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67788078-0.67758204) × R
    0.000298739999999964 × 6371000     		dr = 1903.27253999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83486904-0.83525254) × cos(0.67788078) × R
    0.000383500000000092 × 0.778903522430651 × 6371000     		do = 1903.07822992953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83486904-0.83525254) × cos(0.67758204) × R
    0.000383500000000092 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 1903.53590038427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67788078)-sin(0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778903522430651-0.779090840599552)×R²
    abs(0.83525254-0.83486904)×0.000187318168900941×R²
    0.000383500000000092×0.000187318168900941×6371000²
    0.000383500000000092×0.000187318168900941×40589641000000     		ar = 3622512.0992416m²