Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10370 / 14466
↖ ↑ ↗
← S 79.695048°
E 47.856445°		 ← 437.06 m → S 79.695048°
E 47.878418°		 →
↑
436.99 m
↓
↑
436.99 m
↓
S 79.698978°
E 47.856445°		 ← 436.90 m →
190 953 m²		 S 79.698978°
E 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632965087890625 y=0.882965087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632965087890625 × 214)
    floor (0.632965087890625 × 16384)
    floor (10370.5)     		tx = 10370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882965087890625 × 214)
    floor (0.882965087890625 × 16384)
    floor (14466.5)     		ty = 14466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10370 / 14466 ti = "14/10370/14466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10370/14466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10370 ÷ 214
    10370 ÷ 16384     		x = 0.6329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14466 ÷ 214
    14466 ÷ 16384     		y = 0.8829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6329345703125 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40604886572986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83525254} λ = 0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40604886572986))-π/2
    2×atan(0.0901708688589036)-π/2
    2×0.0899276675445434-π/2
    0.179855335089087-1.57079632675     		φ = -1.39094099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39094099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.695048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10370 KachelY 14466 0.83525254 -1.39094099 47.856445 -79.695048
    Oben rechts KachelX + 1 10371 KachelY 14466 0.83563603 -1.39094099 47.878418 -79.695048
    Unten links KachelX 10370 KachelY + 1 14467 0.83525254 -1.39100958 47.856445 -79.698978
    Unten rechts KachelX + 1 10371 KachelY + 1 14467 0.83563603 -1.39100958 47.878418 -79.698978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39094099--1.39100958) × R
    6.8589999999924e-05 × 6371000     		dl = 436.986889999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39094099--1.39100958) × R
    6.8589999999924e-05 × 6371000     		dr = 436.986889999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83525254-0.83563603) × cos(-1.39094099) × R
    0.000383489999999931 × 0.178887245571085 × 6371000     		do = 437.059964121559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83525254-0.83563603) × cos(-1.39100958) × R
    0.000383489999999931 × 0.178819761535749 × 6371000     		du = 436.895086128336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39094099)-sin(-1.39100958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178887245571085-0.178819761535749)×R²
    abs(0.83563603-0.83525254)×6.74840353364903e-05×R²
    0.000383489999999931×6.74840353364903e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.74840353364903e-05×40589641000000     		ar = 190953.449778434m²