Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10370 / 6274
↖ ↑ ↗
← N 38.788345°
E 47.856445°		 ← 1 904.40 m → N 38.788345°
E 47.878418°		 →
↑
1 904.67 m
↓
↑
1 904.67 m
↓
N 38.771216°
E 47.856445°		 ← 1 904.86 m →
3 627 700 m²		 N 38.771216°
E 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632965087890625 y=0.382965087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632965087890625 × 214)
    floor (0.632965087890625 × 16384)
    floor (10370.5)     		tx = 10370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382965087890625 × 214)
    floor (0.382965087890625 × 16384)
    floor (6274.5)     		ty = 6274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10370 / 6274 ti = "14/10370/6274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10370/6274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10370 ÷ 214
    10370 ÷ 16384     		x = 0.6329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6274 ÷ 214
    6274 ÷ 16384     		y = 0.3829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6329345703125 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    0.234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.735543787770142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83525254} λ = 0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.735543787770142))-π/2
    2×atan(2.08661636050717)-π/2
    2×1.1238903323127-π/2
    2.2477806646254-1.57079632675     		φ = 0.67698434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67698434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.788345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10370 KachelY 6274 0.83525254 0.67698434 47.856445 38.788345
    Oben rechts KachelX + 1 10371 KachelY 6274 0.83563603 0.67698434 47.878418 38.788345
    Unten links KachelX 10370 KachelY + 1 6275 0.83525254 0.67668538 47.856445 38.771216
    Unten rechts KachelX + 1 10371 KachelY + 1 6275 0.83563603 0.67668538 47.878418 38.771216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67698434-0.67668538) × R
    0.000298959999999959 × 6371000     		dl = 1904.67415999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67698434-0.67668538) × R
    0.000298959999999959 × 6371000     		dr = 1904.67415999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83525254-0.83563603) × cos(0.67698434) × R
    0.000383489999999931 × 0.779465406147364 × 6371000     		do = 1904.40140859225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83525254-0.83563603) × cos(0.67668538) × R
    0.000383489999999931 × 0.779652653390352 × 6371000     		du = 1904.85889382571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67698434)-sin(0.67668538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779465406147364-0.779652653390352)×R²
    abs(0.83563603-0.83525254)×0.000187247242987465×R²
    0.000383489999999931×0.000187247242987465×6371000²
    0.000383489999999931×0.000187247242987465×40589641000000     		ar = 3627699.86038283m²