Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10372 / 6276
↖ ↑ ↗
← N 38.754083°
E 47.900391°		 ← 1 905.32 m → N 38.754083°
E 47.922363°		 →
↑
1 905.57 m
↓
↑
1 905.57 m
↓
N 38.736946°
E 47.900391°		 ← 1 905.77 m →
3 631 142 m²		 N 38.736946°
E 47.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633087158203125 y=0.383087158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633087158203125 × 214)
    floor (0.633087158203125 × 16384)
    floor (10372.5)     		tx = 10372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383087158203125 × 214)
    floor (0.383087158203125 × 16384)
    floor (6276.5)     		ty = 6276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10372 / 6276 ti = "14/10372/6276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10372/6276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10372 ÷ 214
    10372 ÷ 16384     		x = 0.633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6276 ÷ 214
    6276 ÷ 16384     		y = 0.383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633056640625 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83601953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    0.23388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.734776797376221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83601953} λ = 0.83601953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734776797376221))-π/2
    2×atan(2.08501655939733)-π/2
    2×1.12359133926657-π/2
    2.24718267853315-1.57079632675     		φ = 0.67638635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83601953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67638635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.754083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10372 KachelY 6276 0.83601953 0.67638635 47.900391 38.754083
    Oben rechts KachelX + 1 10373 KachelY 6276 0.83640302 0.67638635 47.922363 38.754083
    Unten links KachelX 10372 KachelY + 1 6277 0.83601953 0.67608725 47.900391 38.736946
    Unten rechts KachelX + 1 10373 KachelY + 1 6277 0.83640302 0.67608725 47.922363 38.736946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67638635-0.67608725) × R
    0.000299099999999997 × 6371000     		dl = 1905.56609999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67638635-0.67608725) × R
    0.000299099999999997 × 6371000     		dr = 1905.56609999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83601953-0.83640302) × cos(0.67638635) × R
    0.000383490000000042 × 0.779839874768796 × 6371000     		do = 1905.31631586708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83601953-0.83640302) × cos(0.67608725) × R
    0.000383490000000042 × 0.780027070216991 × 6371000     		du = 1905.77367455473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67638635)-sin(0.67608725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779839874768796-0.780027070216991)×R²
    abs(0.83640302-0.83601953)×0.000187195448195232×R²
    0.000383490000000042×0.000187195448195232×6371000²
    0.000383490000000042×0.000187195448195232×40589641000000     		ar = 3631141.97196871m²