Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10384 / 6288
↖ ↑ ↗
← N 38.548166°
E 48.164062°		 ← 1 910.85 m → N 38.548166°
E 48.186035°		 →
↑
1 911.05 m
↓
↑
1 911.05 m
↓
N 38.530979°
E 48.164062°		 ← 1 911.31 m →
3 652 158 m²		 N 38.530979°
E 48.186035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633819580078125 y=0.383819580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633819580078125 × 214)
    floor (0.633819580078125 × 16384)
    floor (10384.5)     		tx = 10384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383819580078125 × 214)
    floor (0.383819580078125 × 16384)
    floor (6288.5)     		ty = 6288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10384 / 6288 ti = "14/10384/6288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10384/6288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10384 ÷ 214
    10384 ÷ 16384     		x = 0.6337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6288 ÷ 214
    6288 ÷ 16384     		y = 0.3837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6337890625 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84062147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    0.232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.730174855012695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84062147} λ = 0.84062147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.730174855012695))-π/2
    2×atan(2.07544347764401)-π/2
    2×1.12179436700708-π/2
    2.24358873401417-1.57079632675     		φ = 0.67279241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84062147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.164062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67279241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.548166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10384 KachelY 6288 0.84062147 0.67279241 48.164062 38.548166
    Oben rechts KachelX + 1 10385 KachelY 6288 0.84100497 0.67279241 48.186035 38.548166
    Unten links KachelX 10384 KachelY + 1 6289 0.84062147 0.67249245 48.164062 38.530979
    Unten rechts KachelX + 1 10385 KachelY + 1 6289 0.84100497 0.67249245 48.186035 38.530979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67279241-0.67249245) × R
    0.000299959999999988 × 6371000     		dl = 1911.04515999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67279241-0.67249245) × R
    0.000299959999999988 × 6371000     		dr = 1911.04515999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84062147-0.84100497) × cos(0.67279241) × R
    0.000383499999999981 × 0.782084564710599 × 6371000     		do = 1910.85040213917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84062147-0.84100497) × cos(0.67249245) × R
    0.000383499999999981 × 0.782271456290852 × 6371000     		du = 1911.30703031903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67279241)-sin(0.67249245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782084564710599-0.782271456290852)×R²
    abs(0.84100497-0.84062147)×0.000186891580253312×R²
    0.000383499999999981×0.000186891580253312×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186891580253312×40589641000000     		ar = 3652157.75841117m²