Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 104 / 184
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 33.750000°		 ← 74.357 km → S 61.606397°
W 32.343750°		 →
↑
73.558 km
↓
↑
73.558 km
↓
S 62.267923°
W 33.750000°		 ← 72.764 km →
5 411.04 km²		 S 62.267923°
W 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408203125 y=0.720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408203125 × 28)
    floor (0.408203125 × 256)
    floor (104.5)     		tx = 104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720703125 × 28)
    floor (0.720703125 × 256)
    floor (184.5)     		ty = 184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 104 / 184 ti = "8/104/184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/104/184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104 ÷ 28
    104 ÷ 256     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 184 ÷ 28
    184 ÷ 256     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104 KachelY 184 -0.58904862 -1.07523446 -33.750000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 105 KachelY 184 -0.56450493 -1.07523446 -32.343750 -61.606397
    Unten links KachelX 104 KachelY + 1 185 -0.58904862 -1.08678027 -33.750000 -62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 105 KachelY + 1 185 -0.56450493 -1.08678027 -32.343750 -62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.08678027) × R
    0.0115458100000001 × 6371000     		dl = 73558.3555100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.08678027) × R
    0.0115458100000001 × 6371000     		dr = 73558.3555100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.56450493) × cos(-1.07523446) × R
    0.02454369 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 74356.977987296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.56450493) × cos(-1.08678027) × R
    0.02454369 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 72763.8495746152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.46533766400578)×R²
    abs(-0.56450493--0.58904862)×0.0101883374553718×R²
    0.02454369×0.0101883374553718×6371000²
    0.02454369×0.0101883374553718×40589641000000     		ar = 5411043178.75025m²