Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 104 / 8
↖ ↑ ↗
← N 82.676285°
E112.500000°		 ← 39.866 km → N 82.676285°
E115.312500°		 →
↑
40.852 km
↓
↑
40.852 km
↓
N 82.308893°
E112.500000°		 ← 41.854 km →
1 669.23 km²		 N 82.308893°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81640625 y=0.06640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81640625 × 27)
    floor (0.81640625 × 128)
    floor (104.5)     		tx = 104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06640625 × 27)
    floor (0.06640625 × 128)
    floor (8.5)     		ty = 8
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 104 / 8 ti = "7/104/8"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/104/8.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104 ÷ 27
    104 ÷ 128     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8 ÷ 27
    8 ÷ 128     		y = 0.0625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0625 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7488935718125))-π/2
    2×atan(15.6253340065392)-π/2
    2×1.5068848564871-π/2
    3.0137697129742-1.57079632675     		φ = 1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104 KachelY 8 1.96349541 1.44297339 112.500000 82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 105 KachelY 8 2.01258279 1.44297339 115.312500 82.676285
    Unten links KachelX 104 KachelY + 1 9 1.96349541 1.43656118 112.500000 82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 105 KachelY + 1 9 2.01258279 1.43656118 115.312500 82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44297339-1.43656118) × R
    0.00641220999999992 × 6371000     		dl = 40852.1899099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44297339-1.43656118) × R
    0.00641220999999992 × 6371000     		dr = 40852.1899099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-2.01258279) × cos(1.44297339) × R
    0.0490873800000002 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 39866.028197548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-2.01258279) × cos(1.43656118) × R
    0.0490873800000002 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 41854.1620380836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44297339)-sin(1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.133832377654437)×R²
    abs(2.01258279-1.96349541)×0.00635723345104894×R²
    0.0490873800000002×0.00635723345104894×6371000²
    0.0490873800000002×0.00635723345104894×40589641000000     		ar = 1669230084.89688m²