Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1040 / 1040
↖ ↑ ↗
← S  2.811371°
E  2.812500°		 ← 19.522 km → S  2.811371°
E  2.988281°		 →
↑
19.521 km
↓
↑
19.521 km
↓
S  2.986928°
E  2.812500°		 ← 19.519 km →
381.068 km²		 S  2.986928°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508056640625 y=0.508056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508056640625 × 211)
    floor (0.508056640625 × 2048)
    floor (1040.5)     		tx = 1040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508056640625 × 211)
    floor (0.508056640625 × 2048)
    floor (1040.5)     		ty = 1040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1040 / 1040 ti = "11/1040/1040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1040/1040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1040 ÷ 211
    1040 ÷ 2048     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1040 ÷ 211
    1040 ÷ 2048     		y = 0.5078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5078125 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0490873852109375))-π/2
    2×atan(0.95209792678504)-π/2
    2×0.760864321488474-π/2
    1.52172864297695-1.57079632675     		φ = -0.04906768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04906768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.811371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1040 KachelY 1040 0.04908739 -0.04906768 2.812500 -2.811371
    Oben rechts KachelX + 1 1041 KachelY 1040 0.05215535 -0.04906768 2.988281 -2.811371
    Unten links KachelX 1040 KachelY + 1 1041 0.04908739 -0.05213172 2.812500 -2.986928
    Unten rechts KachelX + 1 1041 KachelY + 1 1041 0.05215535 -0.05213172 2.988281 -2.986928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04906768--0.05213172) × R
    0.00306404 × 6371000     		dl = 19520.99884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04906768--0.05213172) × R
    0.00306404 × 6371000     		dr = 19520.99884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.05215535) × cos(-0.04906768) × R
    0.00306796 × 0.9987964229002 × 6371000     		do = 19522.4480743113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.05215535) × cos(-0.05213172) × R
    0.00306796 × 0.998641449606272 × 6371000     		du = 19519.4189704677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04906768)-sin(-0.05213172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9987964229002-0.998641449606272)×R²
    abs(0.05215535-0.04908739)×0.000154973293927774×R²
    0.00306796×0.000154973293927774×6371000²
    0.00306796×0.000154973293927774×40589641000000     		ar = 381068418.779688m²