Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10400 / 14496
↖ ↑ ↗
← S 79.812302°
E 48.515625°		 ← 432.15 m → S 79.812302°
E 48.537598°		 →
↑
432.08 m
↓
↑
432.08 m
↓
S 79.816188°
E 48.515625°		 ← 431.99 m →
186 689 m²		 S 79.816188°
E 48.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634796142578125 y=0.884796142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634796142578125 × 214)
    floor (0.634796142578125 × 16384)
    floor (10400.5)     		tx = 10400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884796142578125 × 214)
    floor (0.884796142578125 × 16384)
    floor (14496.5)     		ty = 14496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10400 / 14496 ti = "14/10400/14496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10400/14496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10400 ÷ 214
    10400 ÷ 16384     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14496 ÷ 214
    14496 ÷ 16384     		y = 0.884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884765625 × 2 - 1) × π
    -0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41755372163867))-π/2
    2×atan(0.0891394107709529)-π/2
    2×0.0889044343380513-π/2
    0.177808868676103-1.57079632675     		φ = -1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10400 KachelY 14496 0.84675739 -1.39298746 48.515625 -79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 10401 KachelY 14496 0.84714089 -1.39298746 48.537598 -79.812302
    Unten links KachelX 10400 KachelY + 1 14497 0.84675739 -1.39305528 48.515625 -79.816188
    Unten rechts KachelX + 1 10401 KachelY + 1 14497 0.84714089 -1.39305528 48.537598 -79.816188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39298746--1.39305528) × R
    6.78199999999407e-05 × 6371000     		dl = 432.081219999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39298746--1.39305528) × R
    6.78199999999407e-05 × 6371000     		dr = 432.081219999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.84714089) × cos(-1.39298746) × R
    0.000383499999999981 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 432.151006717749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.84714089) × cos(-1.39305528) × R
    0.000383499999999981 × 0.176806661670742 × 6371000     		du = 431.987915116878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39298746)-sin(-1.39305528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.176806661670742)×R²
    abs(0.84714089-0.84675739)×6.67511300376511e-05×R²
    0.000383499999999981×6.67511300376511e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.67511300376511e-05×40589641000000     		ar = 186689.099869791m²