Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10400 / 1952
↖ ↑ ↗
← N 79.560546°
E 48.515625°		 ← 442.71 m → N 79.560546°
E 48.537598°		 →
↑
442.78 m
↓
↑
442.78 m
↓
N 79.556564°
E 48.515625°		 ← 442.88 m →
196 064 m²		 N 79.556564°
E 48.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634796142578125 y=0.119171142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634796142578125 × 214)
    floor (0.634796142578125 × 16384)
    floor (10400.5)     		tx = 10400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119171142578125 × 214)
    floor (0.119171142578125 × 16384)
    floor (1952.5)     		ty = 1952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10400 / 1952 ti = "14/10400/1952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10400/1952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10400 ÷ 214
    10400 ÷ 16384     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1952 ÷ 214
    1952 ÷ 16384     		y = 0.119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119140625 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3930100290332))-π/2
    2×atan(10.9463933659334)-π/2
    2×1.47969490688523-π/2
    2.95938981377045-1.57079632675     		φ = 1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10400 KachelY 1952 0.84675739 1.38859349 48.515625 79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 10401 KachelY 1952 0.84714089 1.38859349 48.537598 79.560546
    Unten links KachelX 10400 KachelY + 1 1953 0.84675739 1.38852399 48.515625 79.556564
    Unten rechts KachelX + 1 10401 KachelY + 1 1953 0.84714089 1.38852399 48.537598 79.556564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38859349-1.38852399) × R
    6.95000000001667e-05 × 6371000     		dl = 442.784500001062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38859349-1.38852399) × R
    6.95000000001667e-05 × 6371000     		dr = 442.784500001062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.84714089) × cos(1.38859349) × R
    0.000383499999999981 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 442.713230259122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.84714089) × cos(1.38852399) × R
    0.000383499999999981 × 0.181264733514727 × 6371000     		du = 442.880226204739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38859349)-sin(1.38852399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.181264733514727)×R²
    abs(0.84714089-0.84675739)×6.83491241857959e-05×R²
    0.000383499999999981×6.83491241857959e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.83491241857959e-05×40589641000000     		ar = 196063.527991922m²