Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1042 / 1046
↖ ↑ ↗
← S  3.864255°
E  3.164063°		 ← 19.502 km → S  3.864255°
E  3.339844°		 →
↑
19.499 km
↓
↑
19.499 km
↓
S  4.039618°
E  3.164063°		 ← 19.497 km →
380.230 km²		 S  4.039618°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509033203125 y=0.510986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509033203125 × 211)
    floor (0.509033203125 × 2048)
    floor (1042.5)     		tx = 1042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510986328125 × 211)
    floor (0.510986328125 × 2048)
    floor (1046.5)     		ty = 1046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1042 / 1046 ti = "11/1042/1046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1042/1046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1042 ÷ 211
    1042 ÷ 2048     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1046 ÷ 211
    1046 ÷ 2048     		y = 0.5107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    -0.021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0674951546650391))-π/2
    2×atan(0.934732249695904)-π/2
    2×0.751676180308547-π/2
    1.50335236061709-1.57079632675     		φ = -0.06744397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06744397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.864255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1042 KachelY 1046 0.05522331 -0.06744397 3.164063 -3.864255
    Oben rechts KachelX + 1 1043 KachelY 1046 0.05829127 -0.06744397 3.339844 -3.864255
    Unten links KachelX 1042 KachelY + 1 1047 0.05522331 -0.07050463 3.164063 -4.039618
    Unten rechts KachelX + 1 1043 KachelY + 1 1047 0.05829127 -0.07050463 3.339844 -4.039618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06744397--0.07050463) × R
    0.00306065999999999 × 6371000     		dl = 19499.46486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06744397--0.07050463) × R
    0.00306065999999999 × 6371000     		dr = 19499.46486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05829127) × cos(-0.06744397) × R
    0.00306796 × 0.9977265174318 × 6371000     		do = 19501.5357307422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05829127) × cos(-0.07050463) × R
    0.00306796 × 0.997515577981831 × 6371000     		du = 19497.4127139148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06744397)-sin(-0.07050463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9977265174318-0.997515577981831)×R²
    abs(0.05829127-0.05522331)×0.000210939449968972×R²
    0.00306796×0.000210939449968972×6371000²
    0.00306796×0.000210939449968972×40589641000000     		ar = 380229609.207979m²