Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1042 / 1074
↖ ↑ ↗
← S  8.754795°
E  3.164063°		 ← 19.318 km → S  8.754795°
E  3.339844°		 →
↑
19.314 km
↓
↑
19.314 km
↓
S  8.928487°
E  3.164063°		 ← 19.309 km →
373.020 km²		 S  8.928487°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509033203125 y=0.524658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509033203125 × 211)
    floor (0.509033203125 × 2048)
    floor (1042.5)     		tx = 1042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524658203125 × 211)
    floor (0.524658203125 × 2048)
    floor (1074.5)     		ty = 1074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1042 / 1074 ti = "11/1042/1074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1042/1074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1042 ÷ 211
    1042 ÷ 2048     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1074 ÷ 211
    1074 ÷ 2048     		y = 0.5244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15339807878418))-π/2
    2×atan(0.857788186558546)-π/2
    2×0.708998166952786-π/2
    1.41799633390557-1.57079632675     		φ = -0.15279999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15279999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.754795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1042 KachelY 1074 0.05522331 -0.15279999 3.164063 -8.754795
    Oben rechts KachelX + 1 1043 KachelY 1074 0.05829127 -0.15279999 3.339844 -8.754795
    Unten links KachelX 1042 KachelY + 1 1075 0.05522331 -0.15583150 3.164063 -8.928487
    Unten rechts KachelX + 1 1043 KachelY + 1 1075 0.05829127 -0.15583150 3.339844 -8.928487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15279999--0.15583150) × R
    0.00303151000000002 × 6371000     		dl = 19313.7502100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15279999--0.15583150) × R
    0.00303151000000002 × 6371000     		dr = 19313.7502100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05829127) × cos(-0.15279999) × R
    0.00306796 × 0.988348777253828 × 6371000     		do = 19318.2386729222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05829127) × cos(-0.15583150) × R
    0.00306796 × 0.987882822184733 × 6371000     		du = 19309.1311276479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15279999)-sin(-0.15583150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988348777253828-0.987882822184733)×R²
    abs(0.05829127-0.05522331)×0.000465955069094748×R²
    0.00306796×0.000465955069094748×6371000²
    0.00306796×0.000465955069094748×40589641000000     		ar = 373019971.471568m²