Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1044 / 1044
↖ ↑ ↗
← S  3.513421°
E  3.515625°		 ← 19.509 km → S  3.513421°
E  3.691406°		 →
↑
19.507 km
↓
↑
19.507 km
↓
S  3.688855°
E  3.515625°		 ← 19.505 km →
380.537 km²		 S  3.688855°
E  3.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510009765625 y=0.510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510009765625 × 211)
    floor (0.510009765625 × 2048)
    floor (1044.5)     		tx = 1044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510009765625 × 211)
    floor (0.510009765625 × 2048)
    floor (1044.5)     		ty = 1044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1044 / 1044 ti = "11/1044/1044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1044/1044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1044 ÷ 211
    1044 ÷ 2048     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1044 ÷ 211
    1044 ÷ 2048     		y = 0.509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0613592315136719))-π/2
    2×atan(0.940485327117559)-π/2
    2×0.754737780770683-π/2
    1.50947556154137-1.57079632675     		φ = -0.06132077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06132077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.513421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1044 KachelY 1044 0.06135923 -0.06132077 3.515625 -3.513421
    Oben rechts KachelX + 1 1045 KachelY 1044 0.06442719 -0.06132077 3.691406 -3.513421
    Unten links KachelX 1044 KachelY + 1 1045 0.06135923 -0.06438267 3.515625 -3.688855
    Unten rechts KachelX + 1 1045 KachelY + 1 1045 0.06442719 -0.06438267 3.691406 -3.688855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06132077--0.06438267) × R
    0.00306190000000001 × 6371000     		dl = 19507.3649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06132077--0.06438267) × R
    0.00306190000000001 × 6371000     		dr = 19507.3649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06442719) × cos(-0.06132077) × R
    0.00306795999999999 × 0.998120470650342 × 6371000     		do = 19509.2359297781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06442719) × cos(-0.06438267) × R
    0.00306795999999999 × 0.997928151723247 × 6371000     		du = 19505.476869191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06132077)-sin(-0.06438267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998120470650342-0.997928151723247)×R²
    abs(0.06442719-0.06135923)×0.000192318927094703×R²
    0.00306795999999999×0.000192318927094703×6371000²
    0.00306795999999999×0.000192318927094703×40589641000000     		ar = 380537416.821344m²