Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10440 / 1992
↖ ↑ ↗
← N 79.400084°
E 49.394531°		 ← 449.44 m → N 79.400084°
E 49.416504°		 →
↑
449.54 m
↓
↑
449.54 m
↓
N 79.396042°
E 49.394531°		 ← 449.61 m →
202 079 m²		 N 79.396042°
E 49.416504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637237548828125 y=0.121612548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637237548828125 × 214)
    floor (0.637237548828125 × 16384)
    floor (10440.5)     		tx = 10440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121612548828125 × 214)
    floor (0.121612548828125 × 16384)
    floor (1992.5)     		ty = 1992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10440 / 1992 ti = "14/10440/1992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10440/1992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10440 ÷ 214
    10440 ÷ 16384     		x = 0.63720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1992 ÷ 214
    1992 ÷ 16384     		y = 0.12158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    0.2744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86209720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12158203125 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86209720} λ = 0.86209720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37767022115479))-π/2
    2×atan(10.779759130856)-π/2
    2×1.47829461403695-π/2
    2.95658922807391-1.57079632675     		φ = 1.38579290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86209720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38579290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.400084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10440 KachelY 1992 0.86209720 1.38579290 49.394531 79.400084
    Oben rechts KachelX + 1 10441 KachelY 1992 0.86248070 1.38579290 49.416504 79.400084
    Unten links KachelX 10440 KachelY + 1 1993 0.86209720 1.38572234 49.394531 79.396042
    Unten rechts KachelX + 1 10441 KachelY + 1 1993 0.86248070 1.38572234 49.416504 79.396042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38579290-1.38572234) × R
    7.05599999999418e-05 × 6371000     		dl = 449.537759999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38579290-1.38572234) × R
    7.05599999999418e-05 × 6371000     		dr = 449.537759999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86209720-0.86248070) × cos(1.38579290) × R
    0.000383499999999981 × 0.183949901847889 × 6371000     		do = 449.440840262034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86209720-0.86248070) × cos(1.38572234) × R
    0.000383499999999981 × 0.184019257327281 × 6371000     		du = 449.61029501369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38579290)-sin(1.38572234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183949901847889-0.184019257327281)×R²
    abs(0.86248070-0.86209720)×6.93554793922135e-05×R²
    0.000383499999999981×6.93554793922135e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.93554793922135e-05×40589641000000     		ar = 202078.716822781m²