Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10464 / 2272
↖ ↑ ↗
← N 78.206563°
E 49.921875°		 ← 499.35 m → N 78.206563°
E 49.943848°		 →
↑
499.42 m
↓
↑
499.42 m
↓
N 78.202072°
E 49.921875°		 ← 499.54 m →
249 435 m²		 N 78.202072°
E 49.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638702392578125 y=0.138702392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638702392578125 × 214)
    floor (0.638702392578125 × 16384)
    floor (10464.5)     		tx = 10464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138702392578125 × 214)
    floor (0.138702392578125 × 16384)
    floor (2272.5)     		ty = 2272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10464 / 2272 ti = "14/10464/2272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10464/2272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10464 ÷ 214
    10464 ÷ 16384     		x = 0.638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2272 ÷ 214
    2272 ÷ 16384     		y = 0.138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638671875 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138671875 × 2 - 1) × π
    0.72265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87130109} λ = 0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27029156600586))-π/2
    2×atan(9.68222340977379)-π/2
    2×1.46787917486646-π/2
    2.93575834973291-1.57079632675     		φ = 1.36496202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36496202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.206563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10464 KachelY 2272 0.87130109 1.36496202 49.921875 78.206563
    Oben rechts KachelX + 1 10465 KachelY 2272 0.87168458 1.36496202 49.943848 78.206563
    Unten links KachelX 10464 KachelY + 1 2273 0.87130109 1.36488363 49.921875 78.202072
    Unten rechts KachelX + 1 10465 KachelY + 1 2273 0.87168458 1.36488363 49.943848 78.202072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36496202-1.36488363) × R
    7.83900000000948e-05 × 6371000     		dl = 499.422690000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36496202-1.36488363) × R
    7.83900000000948e-05 × 6371000     		dr = 499.422690000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87130109-0.87168458) × cos(1.36496202) × R
    0.000383490000000042 × 0.204383926193747 × 6371000     		do = 499.353831314886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87130109-0.87168458) × cos(1.36488363) × R
    0.000383490000000042 × 0.204460660816008 × 6371000     		du = 499.541310478898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36496202)-sin(1.36488363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204383926193747-0.204460660816008)×R²
    abs(0.87168458-0.87130109)×7.67346222607379e-05×R²
    0.000383490000000042×7.67346222607379e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.67346222607379e-05×40589641000000     		ar = 249435.449501017m²