Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10495 / 14593
↖ ↑ ↗
← S 80.182461°
E 50.603027°		 ← 416.60 m → S 80.182461°
E 50.625000°		 →
↑
416.54 m
↓
↑
416.54 m
↓
S 80.186207°
E 50.603027°		 ← 416.44 m →
173 494 m²		 S 80.186207°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640594482421875 y=0.890716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640594482421875 × 214)
    floor (0.640594482421875 × 16384)
    floor (10495.5)     		tx = 10495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890716552734375 × 214)
    floor (0.890716552734375 × 16384)
    floor (14593.5)     		ty = 14593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10495 / 14593 ti = "14/10495/14593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10495/14593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10495 ÷ 214
    10495 ÷ 16384     		x = 0.64056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14593 ÷ 214
    14593 ÷ 16384     		y = 0.89068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64056396484375 × 2 - 1) × π
    0.2811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88318944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.7813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45475275574384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88318944} λ = 0.88318944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45475275574384))-π/2
    2×atan(0.0858844272476685)-π/2
    2×0.0856741918622156-π/2
    0.171348383724431-1.57079632675     		φ = -1.39944794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88318944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.603027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39944794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.182461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10495 KachelY 14593 0.88318944 -1.39944794 50.603027 -80.182461
    Oben rechts KachelX + 1 10496 KachelY 14593 0.88357293 -1.39944794 50.625000 -80.182461
    Unten links KachelX 10495 KachelY + 1 14594 0.88318944 -1.39951332 50.603027 -80.186207
    Unten rechts KachelX + 1 10496 KachelY + 1 14594 0.88357293 -1.39951332 50.625000 -80.186207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39944794--1.39951332) × R
    6.53800000001148e-05 × 6371000     		dl = 416.535980000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39944794--1.39951332) × R
    6.53800000001148e-05 × 6371000     		dr = 416.535980000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88318944-0.88357293) × cos(-1.39944794) × R
    0.000383490000000042 × 0.170511144350081 × 6371000     		do = 416.595349735989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88318944-0.88357293) × cos(-1.39951332) × R
    0.000383490000000042 × 0.17044672142691 × 6371000     		du = 416.437950697281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39944794)-sin(-1.39951332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170511144350081-0.17044672142691)×R²
    abs(0.88357293-0.88318944)×6.44229231717697e-05×R²
    0.000383490000000042×6.44229231717697e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.44229231717697e-05×40589641000000     		ar = 173494.171145464m²