Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10495 / 2305
↖ ↑ ↗
← N 78.057443°
E 50.603027°		 ← 505.58 m → N 78.057443°
E 50.625000°		 →
↑
505.67 m
↓
↑
505.67 m
↓
N 78.052896°
E 50.603027°		 ← 505.77 m →
255 701 m²		 N 78.052896°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640594482421875 y=0.140716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640594482421875 × 214)
    floor (0.640594482421875 × 16384)
    floor (10495.5)     		tx = 10495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140716552734375 × 214)
    floor (0.140716552734375 × 16384)
    floor (2305.5)     		ty = 2305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10495 / 2305 ti = "14/10495/2305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10495/2305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10495 ÷ 214
    10495 ÷ 16384     		x = 0.64056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2305 ÷ 214
    2305 ÷ 16384     		y = 0.14068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64056396484375 × 2 - 1) × π
    0.2811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88318944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14068603515625 × 2 - 1) × π
    0.7186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25763622450616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88318944} λ = 0.88318944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25763622450616))-π/2
    2×atan(9.56046364679644)-π/2
    2×1.46657785830786-π/2
    2.93315571661572-1.57079632675     		φ = 1.36235939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88318944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.603027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36235939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.057443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10495 KachelY 2305 0.88318944 1.36235939 50.603027 78.057443
    Oben rechts KachelX + 1 10496 KachelY 2305 0.88357293 1.36235939 50.625000 78.057443
    Unten links KachelX 10495 KachelY + 1 2306 0.88318944 1.36228002 50.603027 78.052896
    Unten rechts KachelX + 1 10496 KachelY + 1 2306 0.88357293 1.36228002 50.625000 78.052896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36235939-1.36228002) × R
    7.9369999999912e-05 × 6371000     		dl = 505.666269999439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36235939-1.36228002) × R
    7.9369999999912e-05 × 6371000     		dr = 505.666269999439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88318944-0.88357293) × cos(1.36235939) × R
    0.000383490000000042 × 0.20693092168125 × 6371000     		do = 505.576688360016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88318944-0.88357293) × cos(1.36228002) × R
    0.000383490000000042 × 0.207008573109845 × 6371000     		du = 505.766407478824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36235939)-sin(1.36228002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20693092168125-0.207008573109845)×R²
    abs(0.88357293-0.88318944)×7.76514285950602e-05×R²
    0.000383490000000042×7.76514285950602e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.76514285950602e-05×40589641000000     		ar = 255701.045615857m²